Fun with Numbers

Fun with numbers

1x2x3x4 +1 =   25 = 5^2  ;       5 = 1 x 4 + 1 = 2 x 3 - 1

2x3x4x5 +1 =  121 = 11² ;  11 = 2 x 5 + 1  = 3 x 4 - 1

3x4x5x6 + 1 =  361 = 19²  ; 19 = 3 x 6 + 1 = 4 x 5 - 1

4x5x6x7 + 1 =  841 = 29²  ; 29 =  4 x 7 + 1 = 5 x 6 - 1

5x6x7x8 + 1 = 1681 = 41^2 ;; 41 =  5 x 8 + 1 = 6 x 7 - 1 

6x7x8x9 + 1 = 3025 = 55² ;  55 =  6 x 9 + 1 = 7 x 8 - 1

The sum of unity with the  product of any successive four numbers in natural series gives a square numbers which is equal to one greater than the product of first and last numbers  or one less than the product of middle two numbers in the successive four numbers , This can be explained on the basis of Algebra . The product of the first two successive  numbers is n(n+1) = n² + n and the last two successive numbers is (m-1)m = m² - m  where m = n + 3 and the product of all the four successive numbers becomes (n²  + n) (m²  - m) = (mn+1)²   = [(n+1)(n+2) - 1]²

Fun with numbers

The sum of the  product of any two successive numbers with the next higher number in the natural series can always be expressed as the sum of two squares in the form 1²  + n^2 ,  where n is equal to the middle number in the three member series or the mean of other two numbers.  

1x2 + 3 = 1²  + 2² 

2x3 + 4 = 1² + 3² 

3x4 + 5 = 1²  + 4²

4x5 + 6 = 1² + 5²

5x6 + 7 = 1²  + 6² 

It is found that the sum of 5 and the product of any two successive numbers with a difference of 2 in the natural series is equal to sum of two squares with one of the squares is invariably 2^2 .and the other square is the square of mean of two numbers in the product

1 x 3 + 5 = 8 = 2²  +  2²

2 x 4 + 5 = 13 = 2² + 3²

3 x 5 + 5 = 20 = 2² + 4²

4 x 6 + 5 = 29 = 2² + 5²

5 x 7 + 5 = 40 = 2²  + 6²  

 In general 

n x (n+2)  + 5 =  2²  + (n+1)²