∑(2n)³  = k_n ∑(2n) என்று கொண்டு ∑(2n)³க்கான சூத்திரத்தை வருவிக்கலாம் .

  n          ∑2n           ∑(2n)³             k_n                    Δ k_n                                                                         ……………………………………………………………………

                       1                 2                8                4              ……

                       2                 6              72              12                8

                      3                12            288              24              12

                      4                20            800              40              16          

                      5                30           1800             60              20            

               ……………………………………………………………………………..

  k_n = 4 + 8 + 12 + …….. 4n = 4[1+2+3+……n] = 2n(n+1)

∑(2n)³  = k_n ∑(2n)  = 2n (n+1) ∑(2n) = 2n (n+1) [n(n+1)] =  2n² (n+1)² . n என்பது தொடரில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை. 2n = N என்பதால் ∑(N)³   = (N²/8)[N+2].

 மன்னர்கள் ஆண்ட காலத்தில் தமிழகத்தில் தமிழ் சங்கங்கள் இருந்தன.அவை உயர் கல்விக்கூடமாக மட்டுமில்லாது  படைப்பாற்றல் மிக்க பைந்தமிழ் புலவர்களை ஊக்குவித்தது . அதனால் புலவர்கள் போட்டிபோட்டுக்கொண்டு  காவியங்களையும் , கவிதைகளையும் இயற்றினார்கள். இன்றைக்கும் ஒரு சிலர் எழுதுகின்றார்கள் என்றாலும் அதைப்போன்ற கருத்துச் செறிவு , குறையேதுமில்லாத முழுமை , மொழிவளம் காணமுடிவதில்லை .

தமிழை வளர்ப்போம் என்று தமிழ் பல்கலைக்கழகம்  ஒன்றை தஞ்சாவூரில் நிறுவினார்கள். தமிழுக்கு ஒரு பல்கலைக்கழகம் என்றால் அது தமிழர்களால் பெருமைப்படவேண்டிய விஷயம். அது பண்டைய தமிழ் சங்கங்களுக்கு மாற்று என்றால் அது ஒரு கல்விக்கூடமாக மட்டுமின்றி படைப்பாற்றல் கொண்டதாகவும் இருக்கவேண்டும் . பழைய இலக்கியங்களையே புதுப் பதிப்பாக வெளியிட்டுக்கொண்டிருக்கக் கூடாது. ஒரு இலக்கியத்  திறனாய்வு செய்யலாம் . அது சிந்தனைக்கு நல்ல உரமாக இருக்கும் . ஆனால்  ஒரு புலவர் தன் படைப்பில் எத்தனை உயிரெழுத்தை , மெய்யெழுத்தை பயன்படுத்தியுள்ளார் , எதையெல்லாம் அவர் பயன்படுத்தவில்லை என்ற ஆய்வு தேவையில்லாதது மட்டுமில்லை இனி வரும் எந்தக்காலத்திலும் அதனால் பயனேதுமில்லை . தமிழ் பல்கலைக்கழகம் புதிய காவியங்களை புதிய கருத்துக்களுடன் படைக்கவேண்டும் . 100 Ph D  வாங்கிய ஒரு தமிழ் பெருமகனார் கூட மன்னர் காலத்து ஒரு புலவராக முடிவதில்லை . இதற்கு க் காரணம் இன்றைய தமிழறிஞர்கள் ஆட்சியாளர்களை த் திருப்படுத்துவதிலேயே காலத்தைக் கடந்து விடுகின்றார்கள் . தமிழ் பல்கலைக்கழகம் தமிழ் மொழியை வளர்க்கவேண்டும் என்ற நோக்கத்தை க் கொண்டிருந்தால்,அறிவியல் தமிழை வளர்க்க முன்வரவேண்டும் . தமிழில் ஆராய்ச்சி இதழ்கள் வெளியிடலாம். அறிவியல் தமிழ் நூல்களை ஒவ்வொரு ஆண்டும் வெளியிட்டு சிறந்த நூல்களுக்கு பரிசு வழங்கலாம் .பிற மொழி இலக்கியங்கள் ,அறிவியல் நூல்களை த் தமிழில் மொழியாக்கம் செய்யலாம். தமிழில் உள்ள இலக்கியங்களை பிற மொழிகளில் மொழிபெயர்ப்புச் செய்யலாம்.  தூங்காதே பல்கலைக்கழகமே தூங்காதே.

 

எடுத்துக்கொண்ட தொடர் இயலெண் தொடராக இல்லாமல், இரட்டை அல்லது ஒற்றை எண்களால் ஆன தொடராக இருக்கலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட வேறுபாட்டுடன் கூடிய தொடர் எண்களைக் கொண்ட தொடராக இருக்கலாம். அப்போதும் இந்த வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு தொடரின் மதிப்பிலிருந்து மற்றொரு தொடரின் மதிப்பைக் கண்டறியலாம்.

இரட்டை எண்களால் ஆன இயலெண் தொடர்

∑(2n) = 2 + 4 + 6+ 8 …….. 2n   = n(n+1)  , n என்பது தொடரில் உள்ள எண்களின் எணிக்கையைக் குறிப்பிடுகின்றது. N = 2n என்பதால்  ∑N = N(N+2)/4.

∑(2n)²  = k_n ∑(2n) என்று கொண்டு ∑(2n)²க்கான சூத்திரத்தை நிறுவி மதிப்பை அறியலாம்.

  n          ∑2n           ∑(2n)²             k_n                    Δ k_n                                                                         ……………………………………………………………………

                       1                 2                4                2              ……

                       2                 6               20             10/3         4/3

                      3                12               56             14/3         4/3

                      4                20              120              6             4/3          

                      5                30               220           22/3         4/3           

               ……………………………………………………………………………..

  k_n = 2 + (4/3) (n-1) = (2/3) (2n+1)

∑(2n)²  = k_n ∑(2n)  =  (2/3)(2n+1) ∑(2n) = (2/3)(2n+1) n(n+1) = 4 [n(n+1)(2n+1)/6]

N = 2n என்பதால்  ∑N = (2/3) (N+1) (N/2) [(N/2) +1] =  N(N+1)(N+2)/6

 

1 முதல் n வரையுள்ள  இயல் தொடரின் கூட்டுத்தொகை

1+ 2 = 3 =   (1+1/2) + (2-1/2) = 2 x 3/2 = 3
கூட்டப்படும் இரு எண்களின் சராசரி மதிப்பு (1 +2)/2 = 3/2                     

1+ 2+ 3+……. n  =    ∑ n 

கூட்டப்படும்  எண்களின் சராசரி மதிப்பு  ∑ n / n = (n+1)/2

n இரட்டை மதிப்புடையதாக இருந்தால் கூட்டலில் உள்ள ஒரு எண்ணின் சராசரி மதிப் பு  (n +1 )/2  . எனவே n எண்களின் கூட்டுத் தொக n (n+1)/2 . அல்லது கூட்டலில் (n+1)   கூட்டுத் தொகைகொண்ட (n /2) இணைகள்  இருப்பதால் கூட்டுத் தொகை n(n+1)/2  ஆகும் n ஒற்றை எனில், ஒன்றின்  மதிப்பு (n + 1 ) கொண்ட (n -1 )/2 எண் இணைகள் இருக்கும். இணையற்ற மைய எண்ணின் மதிப்பு (n +1) /2. இவற்றின் கூட்டுத் தொகை  n(n+1)/2.

                       இத்தொடர்பையே அடிப்படையாகக் கொண்டு  1 முதல் n வரையுள்ள எண்களின் இருமடி மற்றும் மும்மடிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தை நிறுவமுடியும். 1 முதல் n வரையுள்ள எண்களின் இருமடிகளின் கூட்டுத்தொகை , 1 முதல் n வரையுள்ள எண்களின்  கூட்டுத்தொகைக்கு நேர் விகிதத் தொடர்பில் இருப்பதாகக் கொள்ளலாம்.

                                    ∑ n² = k_n ∑ n

n ன் வெவ்வேறு மதிப்புக்களுக்கு k_n  மதிப்பை அறிந்து n  க்கு ஏற்ப மாறுபடும் k_n  மதிப்பை நிறுவமுடியும்

                n          ∑ n                 ∑ n²                   k_n                    Δ k_n

               …………………………………………………………………..

               1               1                      1                  1              ……

               2               3                      5                1 2/3            2/3

               3               6                     14               2 1/3           2/3

              4              10                     30               3                2/3

              5              15                    55               3 2/3             2/3

            ……………………………………………………………………….

k_n  = 1 + (n-1) (2/3) = (2n+1)/3

∑ n² = k_n ∑ n = [(2n+1)/3][ n (n+1)/2] = n(n+1) (2n+1)/6

இது போல    ∑ n³ = k_n ∑ n

n ன் வெவ்வேறு மதிப்புக்களுக்கு k_n  மதிப்பை அறிந்து n  க்கு ஏற்ப மாறுபடும் k_n  மதிப்பை நிறுவமுடியும்

                n          ∑ n                 ∑ n³                   k_n                    Δ k_n

               …………………………………………………………………..

               1               1                      1                 1              ……

               2               3                      9                 3                 2

               3               6                    36                 6                3

              4              10                   100              10                4

              5              15                   225              15                   5

            ……………………………………………………………………….

k_n   = ∑ n

∑ n³ = k_n ∑ n = ∑ n X ∑ n = [∑ n]² = n²(n+1)²/4

    இந்த வழிமுறையைப் பின்பற்றி உயர் மடிகளால் ஆன இயலெண் தொடருக்கான சூத்திரத்தை ஏற்படுத்திக்கொள்ள முடியும்.

∑ n⁴ = k_n ∑ n²    என்று கொள்வோம்.

n          ∑ n²               ∑ n⁴             k_n                    Δ k_n                                                                         …………………………………………………………………………..

                    1               1                      1            1              ……

                   2               5                    17         17/5          12/5

                  3              14                    98           7             18/5

                 4               30                   354       59/5           24/5          

                 5               55                   979       89/5           30/5         

               ……………………………………………………………………………..

k_n  = 1 + (6/5) [2+3++4+5…….n] = 1 +(6/5) [n (n+1)/2  - 1]= 1 +(3/5)[n² + n – 2]

   = (3n² +3n – 1)/5

∑ n⁴ = k_n ∑ n² = [(3n² +3n – 1)/5] [n(n+1)(2n+1)/6]

∑ n⁵ = k_n ∑ n³    என்று கொள்வோம்.

n          ∑ n³               ∑ n⁵             k_n                    Δ k_n                                                                         …………………………………………………………………………..

                    1               1                      1            1              ……

                   2                9                    33         11/3          8/3

                  3               36                  276         23/3          12/3

                 4              100                 1300        13              16/3          

                 5              225                  4425       59/3           20/3         

               ……………………………………………………………………………..

k_n  = 1 + (4/3) [2+3++4+5…….n] = 1 +(4/3) [n (n+1)/2  - 1]= 1 +(2/3)[n² + n – 2]

   = (2n² +2n – 1)/3

∑ n⁵ = k_n ∑ n³ = [(2n² +2n – 1)/3] [n(n+1)/2]²

∑ n⁶ = k_n ∑ n²    என்று கொள்வோம்.

n          ∑ n²               ∑ n⁶             k_n                    Δ k_n                                                                         …………………………………………………………………………..

                    1               1                      1            1              ……

                   2                5                    65          13             12 = 84/7

                  3                14                  794         397/7       306/7

                  4                30                 4890        163           744/7          

                  5                55                 20515       373         1470/7           

               ……………………………………………………………………………..

k_n  = 1 + (6/7) [14+51+124+245+…….]  = (3n⁴ +6n³ –3n + 1)/7

∑ n⁶ = k_n ∑ n² = [(3n⁴ +6n³ –3n + 1)/7][n(n+1)(2n+1)/6]

இத் தொடர்புகளை இணைத்து துணைத் தொடர்புகளை நிறுவலாம் . எடுத்துக்காட்டாக

∑n²   = k_n2 ∑n ;  ∑ n³   = k_n3 ∑n

^{வகுக்க ,} ∑n³ /∑n² =  k_n3/ k_n2

^இது   ∑n³   = [∑n²] [k_n3/ k_n2]  என்ற தொடர்பைத் தருகின்றது.

                 =[∑n²] [n(n+1)/2] [3/(2n+1)]= (3/2) [n(n+1)/(2n+1)] [∑n²]

 நம் அரசாங்கத்தின் செலவுக் கணக்கு எப்படி இருக்கின்றது   என்று என்னைக் கேட்டால் ஒரு கதை மூலம் செல்வேன் .ஒரு நாளைக்கு ச் சூரியனை கிழக்கில் உதிக்க வைத்து பொழுதை விடிய வைக்க  செலவு  4 லட்சம் . அதை நாள் முழுதும் ஊர்வலமாய் எடுத்துச் செல்ல ஒரு மணிக்கு 1 லட்சம் வீதம்  (6 - 6 ) 12  மணி நேரத்திற்கு 12 x 1 = 12  லட்சம். மலையில் சூரியனை அடக்கம் செய்ய செலவு 4 லட்சம் .மொத்தம் 1 நாளைக்கு செலவு 20 லட்சம் . ஒரு மாதத்திற்கு செலவு 30 x  20 = 6 கோடி . GST  18 % = 1 .008  கோடி . ஆக மொத்தம் ஒரு மாதச் செலவு 7 .008 கோடி . நிதிப்பற்றாக்குறை ஏற்படுவதால் சொத்து வரியை உயர்த்தவேண்டிய கட்டாயம் .மக்கள் அரசாங்கத்துக்கு ஒத்துழைப்பைத் தருமாறு கேட்டுக்கொள்கின்றோம்      

 செயற்கையை விரும்பும்போது இயற்கை காணாமற் போய்விடுகின்றது.  அதிக ஓய்வு உழைப்பை உறங்க வைத்துவிடுகின்றது . அளவுக்கு மீறிய அமிர்தம்  நஞ்சாக மாறிவிடுகின்றது . செயற்கை நுண்ணறிவின் வரவால் இயற்கை அறிவை இழந்துவிடப்போகின்றோம் .அது சமுதாய வளர்ச்சிக்காகப் பயன்படுத்தும் நல்லவர்களுக்கும் , சுயநலத்திற்காகப் பயன்படுத்தும் தீயவர்களுக்கு இடையிலான போட்டியாக இருக்கப்போகிறது . சைபர் கிரைம் குற்றங்கள் பெருகும் வாய்ப்பே அதிகம் .