பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம் - புதிய நிரூபணங்கள்-1

பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம் - புதிய நிரூபணங்கள்-1

பியர் த பெர்மாட் (1601 - 1665 ) என்ற பிரான்சு நாட்டு கணிதவியல் அறிஞர் ₂R₁ⁿ  குடும்பத்தைச் சேர்ந்த aⁿ   +  bⁿ    =  cⁿ  எனும்  பொதுச் சமன்பாட்டில் , n>2 என்ற நிபந்தனைக்கு a,b,c என்ற மூன்றின் எண் மதிப்புக்களும் ஒரே சமயத்தில் நேரெண்ணாகவும் முழு எண்ணாகவும் இருப்பதில்லை என்பதே பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம் (Fermat's Last Theorem) ஆகும். பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம் நெடுங்காலம் கணிதவியல் அடிப்படையில்  நிரூபிக்கப்படாமலே இருந்தது .பின்னர் வந்தவர்களுக்கு அது ஒரு கணக்குப் புதிர் போல இருந்தது. உண்மையில் பெர்மாட் தனது புத்தகமொன்றில் ஒரு பக்கத்தின் ஓர வெளியில் இதற்கான நிரூபணம் பற்றி "உண்மையிலேயே மிகச் சிறந்த தேற்றத்தை நான் கண்டு பிடித்து விட்டாலும் அதை முழுமையாக விளக்கிட தாளில் போதிய இடமில்லை” என்று குறிப்பெழுதியுள்ளார்.அதன்பின் சுமார் முந்நூறு ஆண்டுகளுக்குப்பின் கி.பி.1994-இல் ஆங்கிலேய கணிதவியல் அறிஞர் ஆன்ட்ரு வைல்ஸ் (Andrew Wiles) என்பார் இத்தேற்றத்திற்கு தீர்வு கண்டார்.

n = 2 என்ற நிலையில் இது பிதகோரஸ் (Pythagoras) தொடர்பைத் தருகின்றது. n >3 என்ற நிபந்தனையில் இச் சமன்பாட்டிற்கு முழு எண்களாலான தீர்வுகள் இல்லை என்பதை எண்ணியல் கொள்கைகளைக் (Number Theory) கொண்டு  ஆராயும் போது பல புதிய நிரூபணங்களை நிறுவமுடிகின்றது.

 அறிவைக் கொண்டு அறியாததை அறிந்து கொள்ள முடியும் ஆனால் அறியாமையால் அறிவைப் பெறமுடியாது என்பது வேத வாக்கு இது ஆய்வியல் வழிமுறையில் பொய்மையைக்  கொன்டு உண்மையை  ஆராய்வதை விட உண்மையைக்  கொண்டு  பொய்மையை ஆராய்வது சரியான தீர்வறியக் கூடுதல் பயனுள்ளதாக இருக்கும்   என்ற பேருண்மையைத் தெரிவிக்கின்றது. இது நீண்ட காலமாக சரியான தீர்வு காணப்படாமல் இருந்த பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கும்  பொருந்தும்.

இதில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட தீர்வறியாத பொதுச் சமன்பாட்டின் சமநிலையும் (aⁿ   +  bⁿ    =  cⁿ ) அதைக் கட்டுப்படுத்த விதிக்கப்பட்ட  நிபந்தனையும் (a.b.c மூன்றும் முழு எண்களாகவும் , மடி எண் 3 அல்லது மூன்றுக்கும் மேற்பட்ட  எண்ணாகவும்) தனித்தனியே கணக்கு விதிமுறைப்படி சரியானதே என்றாலும்  நிபந்தனைக்குச்  சில சமன்பாடுகள் உட்பட்டு  தீர்வுகளைத் தருகின்றன ,இவை நிபந்தனைக்கு உட்படாத தீர்வுகளையும் தரும். எடுத்துக்காட்டாக n = 2  என்ற நிலையில் சமன்பாடு முழு எண்களாலான தீர்வுகளோடு  கூறுபடா எண்கள்(irrational) மற்றும் சிக்கல் எண்களாலான தீர்வுகளையும் கொண்டிருப்பதைக் குறிப்பிடலாம் . சில சமன்பாடுகள்  நிபந்தனைக்கு உட்படாத தீர்வுகளை மட்டுமே தருகின்றன. பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்தில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் சமன்பாடு அத்தகையதே . இதன் அடிப்படையில் பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கு ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட பல நிரூபனங்களை நிறுவமுடியும் . அதைப்பற்றி விரிவாக  காண்போம்.

நிரூபணம் - 1

ராமானுஜன் தேற்றமும்   ₃R³₁  வகைச் சமன்பாடும்

இரண்டு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையை ஒரு மும்மடியாகக் காட்ட முடியாவிட்டாலும் இரண்டு ,மூன்று , நான்கு என உயர் எண்ணிக்கையிலான மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையாகக் காட்டமுடியும். _nR³₁  வகைச் சமன்பாடுகளுக்கான சில எடுத்துக்காட்டுகள்

                           

                                  ₃R³₁   ;  [3,4,5=6]³,  [8,6,1= 9]³ , [ 22,17,4 = 25]³,  [ 38,43,66 = 75]³

                                  ₄R³_{1  ;} [11,12,13,14 = 20]³

                                 ₅R³₁  :  [8,8,6,4,3 = 11]³  , [12,6,5,4,4 = 13]³ , [ 10,10,5,4,2 = 13]³

                                 ₆R³₁ ;  [21,21,15,3,3,1= 28]³  , [31,33,35,37,39,41= 66]³    

ஒரு சமயம் ராமானுஜன் இரு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையை   இரு வேறு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையாகக் காட்டும் மிகச் சிறிய எண் 1729  என்று கூறி அதை 1729 = 9³   +   10³    =   1³  +  12³  என்று குறிப்பிட்டுக்காட்டினார் . ராமானுஜன் இத்தகைய எண் தொடர்புகளுக்கான ஒரு பொதுச் சமன்பாட்டை நிறுவியுள்ளார் (பக்கம் 266 ,தொகுதி  II NBSR  ராமானுஜன்  நோட்டுப்புத்தகம்  2 ). p,q,r  என்ற மூன்றின் மதிப்புக்களும், சார்பிலா  மதிப்புள்ள a,b ஆல் ஆன ஒரு இருமடியோடு [(a+b)² ] தொடர்புபடுத்தி

 p = (a+b)²  - 3a²   ; q = (a+b)² – 3ab ; r = (a+b)²  - 3b² .இத் தொடர்புகள்  q – p = 3a(a-b) , r - q = 3b(a-b)  போன்ற துணைத் தொடர்புகளைத் தருகின்றன. m,n  என்ற சார்பிலா இரு எண்கள் நிபந்தனைக்குட்பட்டp,q,r   மும்மடிகளுடனான ஒரு தொடர்பைத் தருகின்றது.

                  m (mq +nr)³  +  n (mp+nq)³   =   m (np + mq)³  + n (nq + mr)³

இத் தேற்றத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட  நேர்வு

  

       (3a² + 5ab – 5b² )³   + ( 4a² – 4ab + 6b²)³  +  (5a² – 5ab – 3b² )³  = (6a² – 4ab + 4b² ) ³

a,b  க்கு முழு எண் மதிப்புக்களைக் கொடுத்து  ₃R³₁  வகைச் சமன்பாட்டிற்கான எண் தொடர்புகளைப்  பெறலாம். சுருங்கா எண் தொடர்புகளுக்கான  சில எடுத்துக்காட்டுக்கள்

                                      a                   b           [a,b,c = d]³

                                      1                   0            [3.4.5= 6]³

                                                           2             [7,14,17= 20]³

                                                           3           [27,30,37 = 46]³

                                                           4           [54.57.63= 84]³ 

                                       2                  3          [ 3,36,37 = 46]³

                                       3                  1           [27,30,37=46]³ 

                                                         

a = b  என்ற நிலையில் இப் பொதுச் சமன்பாட்டில் உள்ள ஒரு கூறு எதிர்குறியுடையதாகி விடும்போது  ₂R³₂  வகைக்கான எண் தொடர்புகளைத் தருகின்றன மேலும் இரு பக்கங்களிலும் உள்ள இரண்டு மும்மடிகளும் சமமானவைகளாக இருக்கின்றன      

இச் சமன்பாட்டில் a,b யின் மதிப்புக்களை பரிமாற்றம் செய்துகொண்டாலும் எண் தொடர்பு மாறாதிருக்கின்றது. b = 0 , a = 1  என்ற நிபந்தனை சுருங்கா எண்   தொடர்புகளையும், a  யின் உயர் மதிப்புகள்  சுருங்கும் எண் தொடர்புகளையும் தருகின்றது

இத் தொடர்பில் இருக்கும் நான்கு உறுப்புக்களில் ஏதாவதொன்றை சுழியாகக் கொன்டு  ஒரு குறிப்பிட்ட முழு எண்ணாலான b அல்லது a  யின் மதிப்பிற்கு மற்றொன்றின் மதிப்பைக் கணக்கிட்டறிந்தால். அதன் மதிப்பு எப்போதும் கூறுபடா எண் மதிப்புள்ளதாக இருக்கின்றது. a,b க்குள்ள தொடர்பை  a = [ ± 5b ± b (85)^1/2 ] / 6 அல்லது a = [ 4b ± ib (80)^1/2] / 6 என்று காட்டலாம்,

 இது ஒரு மும்மடியை இரு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையாகக் காட்ட முடியாது என்பதைத் தெரிவிக்கின்றது .