பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம்- நிரூபணம் -2

பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம்- நிரூபணம் -2

மும்மடி எண் தொடர்புகளின் பொதுப் பண்பும்  தீர்வும்

மும்மடி எண்கள் சில குறிப்பிட்ட பொதுப் பண்புகளைப் பெற்றுள்ளன. ஓரெண்ணின்  மும்மடிக்கும் (x³ )  மடி மூல எண்ணிற்கும் (x) உள்ள வேறுபாடு x³ – x = x ( x²  - 1)  = (x-1)x(x+1). இது இயலெண்  தொடரில்  அடுத்தடுத்துள்ள மூன்று ண்களின்

பெருக்கல் என்பதால் அதற்கு 6  ஒரு பொதுக்காரணியாக இருக்கின்றது. இப்பண்பு  (x-1)x (x +1) = 6n  என்று தெரிவிக்கின்றது. எனவே மும்மடி எண்களை  x³ = 6n_x  + x  என்ற தொட ர்பால் குறிப்பிடலாம். மும்மடி எண்களின் இப் பண்பை  ₃R³₁  வகைச் சமன்பாடுகளில் பயன்படுத்தி பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கு ₂R³₁   உட்பட்டிருப்பதை உறுதிசெய்யலாம்.

a³  + b³  + c³  = d³  என்ற பொதுத் தொடர்பில்  d  ன் மதிப்பு   a,b,c ன் மதிப்புக்களை விட அதிகமாக இருக்கும் என்றாலும் அவற்றின் கூட்டுத் தொகையை விடக்  குறைவாக இருக்கும்

                                                             d > a,b,c  ; d < a+b+c

எனவே  d = a +p = b + q = c+r  என்று கொள்ளலாம் . d = c + r  என்று வைத்துக்கொண்டு அதை பொதுச் சமன்பாட்டில் பதிலீடு செய்ய ,

          

                 a³  + b³  + c³  = d³

                6(n_a + n_b + n_c) + (a+b+c) = 6n_d  + d = c+r

                a+b = 6(n_d – n_a – n_b – n_c) + r  =  6n + r

                a³  + b³  =(a+b)³  - 3ab (a+b) = (6n+r)³  - 3ab(6n+r)

மேலும்

             a³  + b³  + c³  = d³  = (c+r)³

             a³  + b³  = r³ + 3cr(c+r)

இரு சமன்பாடுகளையும் ஒப்பிட,

3c²r + 3cr² + r³  -  (6n+r)³  + 3ab(6n+r) = 0

இருபடிச் சமன்பாட்டை தீர்வு செய்து c  ன் மதிப்பை அறியலாம் . இது r , n , (a + b )  இவற்றின் மதிப்புக்களைச் சார்ந்திருக்கிறது.

c =- (r/2) ± (1/2r) [ r⁴ + 288n³  r +144 n²  r² + 24 n r³  - 4abr (6n+r) ]^1/2

              r            n          a+b           a³  + b³  + c³  = d³

             1             1            7                  [1,6,8=9]³

             1             2          13                  [3.10,18 = 19]³

             1             3          19                  [2,17,40 =41]³

             1             4           25              தொடர்பு இல்லை 

             1             5          31                 [12,19,53=54]³

             1             6          37                 [14,23,70 = 71]³

             1             7          43                 [12,31,102=103]³

              1            8          49                தொடர்பு இல்லை

                1             9            55                  தொடர்பு இல்லை

இந்த வழிமுறை a³  + b³  + c³  = (c+r)³  என்ற பொதுத் தொடர்புக்கு முழு எண்களாலான தீர்வுகளைப் பெறப் பயனுள்ளதாக இருக்கின்றது.

a  யின் எல்லா முழு எண் மதிப்புகளுக்கும்  ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட  ₃ R³₁   தொடர்பை ஏற்படுத்த முடியும்

[1,6,8=9]³, [2,17,40 = 41]³ , [3,10,18=19]³, [4,57,248 =249]³ ,[5,86,460 =461]³ , [6,121,768 = 769]³,

[7,162,1190=1191]³, [8,209,1744 =1745]³ , [9,262,2448= 2449]³, [10,321,3320 = 3321]³

இது போன்ற எண்  தொடர்புகளை

a³ + [6T_a  - (a-1)]³  + [ 8a + 3a(a² + a – 2) ]³  = [ 8a + 1 + 3a(a² + a – 2) ]³

என்ற பொதுத் தொடர்பால் பெறமுடியும். இது போல ஒரு குறிப்பிட்ட a யின் மதிப்பிற்கு ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட  எண் தொடர்புகளை நிறுவலாம். (a=3) ,(a=7) என்றிருக்கும் போது

[3,4,5=6]³ ,[3,10,18=19]³ , [3,34,114=115]³ , [3,36,37=46]³

[7,14,17=20]³ , [7,317,525=561³, [7,162,1190 = 1191]³

போன்ற எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம்.

     

₃ R³₁     வகை பொதுச் சமன்பாட்டில் ஏதாவதொரு மூல  எண் சுழியானால்  அது ₂R³₁   வகைக்கான ஒரு பொதுச் சமன்பாடாகும். a  சுழியானால் இச் சமன்பாடு 1³  = 1³ என்று மட்டுமே மாற்றம் பெறுகின்றது.  b சுழியானால் இச் சமன்பாடு 6T_a = (a-1) என்ற நிபந்தனையை ஏற்படுத்துகின்றது . இந்த நிபந்தனை a = 0 , T_a  = 0  என்ற நிலையில் மட்டுமே உண்மையானதாக இருக்கின்றது. c = 0 எனில் , a ஒரு சிக்கல் எண்ணாகி விடுகின்றது. ஒரு உறுப்பைச் சுழியாக்கிவிட்டு ₃ R³₁  தொடர்பை ₂R³₁  தொடர்பாக மாற்றமுடியாது என்று இது தெரிவிக்கின்றது. இது பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்தை உறுதிப்படுத்துவதாக இருக்கின்றது.