Fermat's Last Theorem - New Proofs

அல்ஜீப்ராவைப் பயன்படுத்தி  ஒரு பொதுச் சமன்பாட்டை நிறுவி,  அதன் சமனுக்கான நிபந்தனையை ஏற்படுத்திக்கொண்டு தீர்வுசெய்து ₂R³₁  வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்     

(x +ma)³  - (x –ma)³  =[(x-na)/b + c]³  -  (x-na)/b – c ]³ என்ற ஒரு பொதுத் தொடர்பைக் கருதுவோம். இதில் x,a,b,c,m,n  முழு எண்களாலான மாறிகளாக இருக்கட்டும். மேலும்  b > 1 , m ≠ n ,  இச் சமன்பாடு  m³ a³  + 3max²  =  c³  + (3b/c²) (x-na)². c = mab²

என்ற நிபந்தனைத் தொடரபைத் தரும் . இது   x = (a/6n) [ m²b⁶ + (3n²  - m²) ] என்ற தீர்வைத் தருகின்றது. இம் மதிப்பை பதிலீடு  செய்து எடுத்துக் கொண்ட பொதுத் தொடர்பை m,n,b என்ற மூன்று சார்பிலாமாறிகளோடு மட்டுமே தொடர்புடைய  ஒரு அல்ஜீப்ரா தொடர்பை ஏற்படுத்திக் கொள்ள முடியும்.

{b[m²b⁶ + (3n²  - m²) + 6mn)]³ + [m² b⁶ + (3n²  - m²) – 6n² – 6mnb³]³ = {b[m²b⁶ + (3n²  - m²) - 6mn)]³ + [m² b⁶ + (3n²  - m²) – 6n²  + 6mnb³]³

சார்பிலா மாறிகளுக்கு விருப்பம்போல மதிப்புக்களைக் கொடுத்து  எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம் .

                 m           n             b                                       [ a,b,c = d]³

                        1            2             2               [45,126,147=174]³  à [ 15,42,49=58]³

                1            3             2               [108,144,180= 216]³ à [3.4.5=6]³

                2            3             2               [63,486,,513=630]³  à [ 7,54,57 = 70]³

               `1           4              2               [174,177,207= 270]³ à [ 58,59,69 = 90]³

                       2            4              2               [180,504,588= 696]³  à [ 15,42,40 = 58]³

                      3            4              2                [57,1086,1095= 1374]³  à [19,362,365= 458]³

 

இதிலுள்ள இரண்டாவது கூறை சுழியாக்கிக் கொண்டால்  m² b⁶ = 3n² + m² + 6mnb³

இதை ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாகக் கொண்டு  b³ ஐ  தீர்வு செய்தால் b³ = (3n/m) ± (1/m) √ (12 n²  + m²)^.. b கூறுபடா எண்ணாகவும் , சிக்கலெண்ணாகவும் இருப்பதால், ₃R³₁   வகைச் சமன்பாட்டை  முழு எண்களாலான₂R³₁  வகைச் சமன்பாடாக மாற்ற முடியாது  என்பது உண்மைக்கு மற்றொரு நிரூபணமாக இருக்கின்றது.

   

அல்ஜீப்ராவைப் பயன்படுத்தி ₂R⁴₂  வகைக்கான பொதுத் தொடர்புகளை விருப்பம்போல பல விதமாக அமைத்துக் கொள்ளலாம்.சமனின் அடிப்படையில் , தொடர்பிலுள்ள சார்பிலா மாறிகளுக்கிடையிலான தொடர்புகளை ஏற்படுத்திக்கொண்டு எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்

எடுத்துக்காட்டாக,  (x - a )³  + ( x + a )³  = (x  - a + pn)³  + (x + a – qn)³ என்ற தொடர்பைக் கருதலாம்.p க்கும்  q க்கும் சில அனுகூலமான மதிப்புக்களையும்  n க்கு நிபந்தனைக்குட்டபட்ட மதிப்புக்களையும்  கொடுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, p = 9 , q = 1,  என்ற நிலையில்  

12nx² – [30 na – 123n²]x  + [ 12na²  -120n²a + 364 n³ ]  =  0

n = 3  எனக்கொண்டு x,a ன் மதிப்புக்களைத் தீர்வு செய்தால்

x = [(30a – 369) ±  3 √ 36a² -540a – 2343]/24

a = [45 ± √ [4368 + S² ]/6

இதில்  S² = 36 a² – 540a – 2343

n  = 3 க்கு  சில எளிய தீர்வுகளை S க்கு சில  அனுகூலமான மதிப்புக்களால் பெறமுடியும்

                         S          a                      x             [a.b.c =d]³

                                  11         56/3                       28/3           [28,53,75=84]³

                                                         79/12        [145,179,267 = 303]³

                                 31       59/3                16/3           [ 38,43,66=75]³

                                                 -14/5                     157/12       [79.245,357 = 393]³

                                64       137/6              127/6         [5.76,123=132]³

                      71        71/3               16/3          [26,55,78=87]³

                                                 -26/3               277/12      [7,317,,525=561]³

n -ன் உயர் மதிப்புகளுக்கான எண்தொடர்புகள்  சுருங்கி n  = 3 க்குரிய  எண் தொடர்புகளாகிவிடுகின்றன.

எந்தவொரு பொதுத் தொடர்பையும் நிபந்தனைக்கு உட்படுத்தி அதிலுள்ள ஏதாவதொரு உறுப்பைச் சுழியாக்கிக் கொள்ளலாம் . ஆனால் அப்படிச்  செய்யும் போது மடி மூல எண்கள் முழு எண்களாக இருப்பதில்லை  என்ற தேற்றத்தை  இந்த பொதுத் தொடர்பும்  விளக்குகின்றது . x = a  என்ற நிலையில்  தொடர்பிலுள்ள (x-a)  என்ற உறுப்பு சுழியாகி விடுகின்றது.  x = a = (30a -369) ± 3 √ ( 36a²  - 540a  - 2343) என்பதால்  2a² - 3a – 1092m= 0 . இது x = a = [ ±3 + √ 8745]/4 என்ற தீர்வையும் 27³  + [( -3 + √ 8745)/2]³  = [(3 + √ 8745)/2]³       என்ற எண் தொடர்பையும் தருகின்றது                

இரண்டு அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட மாறிகளின்றி  ஒரு மாறியின் வெவ்வேறு மடிகளைக் கொண்டு  ஜெரார்டின் (Gerardin) என்பார் ₂R⁴₂   வகைக்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பை அறிந்துள்ளார்.

(a+3a²-2a³+a⁵+a⁷)⁴ + (1+a²-2a⁴-3a⁵+a⁶)⁴ =   (a-3a²-2a³+a⁵+a⁷)⁴ + (1+a²-2a⁴+3a⁵+a⁶)⁴

a=2 என்ற மதிப்புக்கு கொடுக்கும் போது ₂R⁴₂   வகைக்கு மிகச் சிறிய எண்தொடர்பைத் தருகின்றது

                                    158⁴   + 59⁴  = 134⁴  + 133⁴

இதில் முதலுறுப்பைச்  சுழியாக்கிக் கொண்டால்    a= 0 என்ற மதிப்பைத் தவிர்த்துக்கொண்டால் a -ன் மதிப்பு சுழியிலிருந்து -1  க்கு உட்பட்ட பின்ன மதிப்புக்களைப் பெற்றிருக்கின்றது . இரண்டாவது உறுப்பைச் சுழியாக்கிக் கொண்டால் a -ன் மதிப்பு சுழியிலிருந்து 1  க்கு உட்பட்ட பின்ன மதிப்புக்களைப் பெற்றிருக்கின்றது. எந்த நிலையிலும் முழு எண்களாலான எண் தொடர்பை ஏற்படுத்த முடிவதில்லை. பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம் 714,591,416,091,389 வரையிலான உயர் மடியெண்களுக்கும் உண்மையானது என்பதை கிரண்வில் (A.Cranville) என்பார்  கணனியின் உதவியோடு நிருபித்துள்ளார்.