sonnathum sollaathathum

ஐசக் அசிமோவின் பொன்மொழிகள்

“கல்விமுறையில் எனக்கு சுயகல்வியில் மட்டுமே முழுமையான நம்பிக்கை இருக்கின்றது “

இந்திய மாணவர்கள் பெரும்பாலும்  தேர்வுக்காகப் படிக்கின்றார்கள் அல்லது படிக்கவைக்கப்

படுகின்றார்கள் , வாழ்க்கைக்காகப் படிப்பதில்லை. அல்லது படிக்கவைக்கப்படுவதில்லை என்று கல்வியாளர்கள் குறை கூறுவார்கள் இதற்குக் காரணம் மாணவர்களின்  படிப்பு சுயமுயற்சியின் விளைவாக இல்லாமல் பிறருடைய திணிப்பினாலேயே திட்டமிடப்படுவதாக இருப்பதுதான் . அதனால் ஒரு மாணவனின் விருப்பப் பாடமும்  , படிக்கும்  பாடமும் வேறாக இருக்கின்றன. . இது படிப்பில் கொண்டுள்ள உற்சாகத்தை பாழ்படுத்திவிடுகின்றது கல்வியைத்  தெரிந்து கொள்வதற்காகவோ , அறிந்து கொள்வதற்காகவோ படிக்காமல் புரிந்து கொள்வதற்காகப் படித்தால் அறிவு ஓர் உரிமைப்பொருளாகி சுயமாக பயன்படுத்திக்கொள்ளும் உரிமையைத் தரும்  கல்வியின் பயனுறுதிறனை அதிகரிக்க  சுயமாகக் கல்வி தேடும் அவசியத்தை மாணவர்களுக்கு உணர்த்த வேண்டும்  கல்வி தேடுதல் என்பது வகுப்பறையில்லாது  ஊக்கம்தரும் சொற்பொழிவு களைக் கேட்டல் , நண்பர்கள் மற்றும் ஆசிரியர்களுடன் கலந்துரையாடல், ,நூலகம்  சென்று கூடுதல் விவரங்கள் சேகரித்தல் .விளையாட்டாய்  செய்முறைப் பயிற்சி மேற்கொள்ளுதல் போன்றவைகளாகும். கல்வி தேடுதல் சுயமுயற்சியாக இருக்கும்போது புற உதவிகள் எதுவும்  தேவைப்படுவதில்லை. அவராகவே தன் கல்வியை முழுமைப்படுத்திக் கொள்ளும் பக்குவதைப் பெறுகின்றார். இதற்கு  ஐசக் அசிமோவ் ஒரு எடுத்துக்காட்டு. .

நம் பள்ளிகளும் கல்லூரிகளும் இப் பழக்கத்தைப் பின்பற்றி ஒழுக மாணவர்களை உற்சாகப் படுத்தி சுயமாக முன்னேற வழிகாட்டலாமே . படிக்காத அப்பாக்களும் இந்த வழிமுறையைப் பின்பற்றலாமே. உட்கிரகித்துக் கொள்ளும் தன்மை குறைவாக இருப்பதால் நீண்ட சொற்பொழிவுகளில் அதிக அக்கறை காட்டாத நம் மாணவர்களுக்கு தொடர்ந்த சொற்பொழிவுகளை விட கலந்துரையாடலும் பயிற்சியுமே நற்பயனளிக்கும்

“சரியானதே  என்று ஒரு செயலில் ஈடுபடும்போது ஒருபோதும்  நீதி நேர்மையைக் கைவிட்டுவிடாதீர்கள் “.

இந்த உலகில் ஒருவர் தொடர்ந்து  தனித்து வாழ முடியாது, ஒருவருக்கொருவர் உதவி செய்துகொண்டு வாழ்வதற்க்கே இந்த பூமி படைக்கப்பட்டிருக்கிறது , ஆனால் போட்டி பொறாமை போன்றவற்றால் ஒவ்வொருவரும்  பிறரைவிட பொருளாதாரத்தால் முன்னேறியிருக்க வேண்டும் என்று நினைத்து  அதை முறையான தகுதியில்லாமல் பெறுவதற்கும்  பிறருடைய பொருளை ஏமாற்றி அபகரிப்பதற்கும்  தீய  வழிமுறைகளைப் பின்பற்றுகிறார்கள். இந்த எண்ணம் சிறு வயதிலிருந்தே தொடங்கி வாழ்க்கை முழுதும் ஊடுருவிவிடுகின்றது. நாம் நினைப்பதுண்டு ,பிறருக்குத் தெரியாமல் இந்தத் தவறைச் செய்து பயனைந்துவிட்டோம்  என்று.  எல்லோரும்     அப்படி யே நினைக்கின்றார்கள் என்பதை அறியாமலேயே , எந்தத் தீய பழக்கமும் சொல்லிக்

கொடுத்து வளர்வதில்லை . பெரும்பாலும் அவை சுயநலத்தில் கொண்ட ஆர்வத்தினால் தானாகவே பின்பற்றப் படுகின்றது. அதனால்தான் தீய செயல்கள் யாவும் மறைவொழுக்கமாகவே

 இருக்கின்றன. இது தொற்று நோய் போல சமுதாயத்தை தொற்றும் எண்ணமாக அமைந்துவிடும். அப்போது குணப்படுத்த முடியாமல் ஒட்டு மொத்த சமுதாயமும் சீரழிந்து போகும் அபாயம் ஏற்படும்..

மனம் அறிந்ததை , கேள்விப்பட்டதை விரும்பும் .அறியாதனவற்றைப்  பற்றி ஏதும் சிந்திக்காது, ஏங்காது.அதனால்தான் சான்றோர்கள் தீயதை மனதிற்கு ஒருபோதும் அறிமுகப்படுத்தி விடாதீர்கள் என்று அறிவுரை கூறுகின்றார்கள் . செய்யும் செயலில் நேர்மை வேண்டும் என்று சான்றோர்கள் கூறுவது நாம் வாழும் சமுதாயத்தின் நலன் கருதியே என்பதை நாம் உணரவேண்டும்

“அறிவியல் ஒரு ஒளி விளக்குப் போல .எங்கோ ஓரிடத்தில் பிரகாசிக்கும்போது அது எல்லா இடங்களிலும் பிரகாசமூட்டத் தவறுவதில்லை “

அதிகாரமுள்ளவர்கள் மக்களை எப்போதும் அடிமைகளாகவே பார்க்க விரும்பினார்கள் , அதனால் சில மூடப்பழக்கங்களை  மக்களுக்கு ஏற்படுத்தினார்கள் அறிவியல் வளரும் போது மூடப்பழக்கங்களின் உண்மைத்தோற்றம் தெரியவந்ததால்அறிவியல் அறிஞர்களைத் துன்புறுத்தினார்கள். புவி மையக் கொள்கை தவறு என்றும் ,பூமி தான் சூரியனை மையமாகக் கொண்டு சுற்றிறிவருகின்றது என்றும் சொன்ன கலிலியோ கலிலியை படுத்திய பாடு கொஞ்ச நஞ்சமல்ல. எல்லோருடைய நம்பிக்கையாக இருந்தாலும் நம்முடைய நம்பிக்கையும் அப்படியே இருக்கவேண்டும் என்பதில்லை . அறிவுப் பூர்வமில்லாத நம்பிக்கைகள் பெரும்பாலும் தவறான முடிவுகளையே மேற்கொள்ளத் தூண்டுகின்றன

அறிவியல் வளர்ச்சி நாட்டின் வளர்ச்சியைத் தீர்மானிக்கக் கூடியதாக இருக்கின்றது  சமுதாயாத்தின் பொருளாதார வளர்ச்சியை மேம்படுத்துவதன் மூலம் நாகரிக வளர்ச்சியோடு வாழ்க்கையை எளிமைப்படுத்தவும் செய்கின்றது. சுகாதாரமான சுற்றுச் சூழலையும், ஆரோக்கியமான வாழ்க்கையையும் தருகின்றது   உலகில் ஒவ்வொருநாடும் பொருளாதார முன்னேற்றம் காண அறிவியலை மேம்படுத்திக்கொள்ளும் முயற்சிகளில் ஈடுபாடு கொண்டுள்ளன. அது அறிவியலை மேலும் புதுமைப்படுத்தும் வாய்ப்பை த் தருவதால் , தொழில் புரட்சியில் முன்னோடியாகத் திகழ முடிகின்றது . இது உலகநாடுகளிடையே ஒரு விழிப்புணர்ச்சியை ஏற்படுத்தியிருக்கின்றது

“பிறப்பு மகிழ்ச்சிகரமாக இருக்கின்றது, இறப்பு அமைதியுடன் முடிகின்றது.ஆனால் அந்த நிலைமாற்றம் தான் மிகவும் துன்பமாக இருக்கின்றது”

மகிழ்ச்சியான பிறப்பிற்கும் ,அமைதியான இறப்பிற்கும் இடையில் வருவது வாழ்க்கை. பிறப்பைக் கேட்டுப் பெறவும் முடியாது இறப்பை  வேண்டாமென்று மறுக்கவும் முடியாது.உண்மையில் ஒருவருடைய பிறப்பும் , இறப்பும் அவருடைய விருப்பு வெறுப்புக்கு ஏற்ப இருப்பதில்லை. ஆனால் ஒருவர் தன்னுடைய வாழ்க்கை எப்படி அமைத்துக் கொள்ளவேண்டும்  என்ற உரிமையை இயற்கை எல்லோருக்கும்  சமமாக வழங்கியிருக்கின்றது .அதில் ஒரு ஏற்றத் தாழ்வு இருக்கின்றது என்றால் அது மனிதர் களின் கள்ளத்தனமே ஒழிய இயற்கையின் பிழையன்று. போராட்டம் தான் வாழ்க்கை என்பது இயற்கை வலிமையானவர்களே தொடர்ந்து வாழமுடியும் அவர்களால் தான் மேலும் கடுமையாக்கிக் கொண்டே போகும் எதிர்காலச் சூழலில்  வாழத்  தகுதியுடைய வலிமைமிக்கோரை உருவாக்க முடியும் .ஆனால் இயற்கைப் போராட்டத்தில் செயற்கைப் போராட்டம் வேதனைதான் .

செயற்கைப் போராட்டத்தைத் தூண்டும் சுயநலத்தை யாரும் தவறென மறுப்பதில்லை . மறைமுகமாக அதில் அளவில்லாத விருப்பத்தை வளர்த்துக் கொண்டு வருகின்றார்கள் .பிறருடைய வாழ்க்கையில் எதிர்வினை புரியாமல் இதைச் செய்யமுடியாததால் மகிழ்ச்சியாக இருக்கவேண்டிய ஒவ்வொருவருடைய வாழ்க்கையும் துன்ப மயமானதாகி வருகின்றது. துன்பத்திலும் இன்பத்தைக் காண மனத்தால் முடியும். அலைபாயும் மனதை ப் பக்குவப்படுத்த இறைவன் மனிதனுக்குச் சொன்ன பேரண்டம் முழுமைக்கும் சாலப் பொருந்தும்  இந்த அறிவுரையைக் கேளுங்கள்.ஒருமுறை கேட்டாலே மனம் உங்கள் வசப்படும்.

 

 " உன்னுடையது எதை இழந்தாய் , எதற்காக நீ  அழுகின்றாய்

எதை நீ கொண்டுவந்தால் அதை நீ இழப்பதற்கு

எதிர் நீ படைத்திருந்தாய் அது வீணாவதற்கு

எதைக் கொடுத்தாயோ அது இங்கேயே கொடுக்கப்பட்டது

எது இன்று உன்னுடையதோ அது  நாளை மற்றொருவனுடையதாகின்றது

மற்றொரு நாள் அது வேறொருவனுடையதாகும்

இந்த மாற்றம் உலக நியதியாகும்”

பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம் - புதிய நிரூபணங்கள்-1

பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம் - புதிய நிரூபணங்கள்-1

பியர் த பெர்மாட் (1601 - 1665 ) என்ற பிரான்சு நாட்டு கணிதவியல் அறிஞர் ₂R₁ⁿ  குடும்பத்தைச் சேர்ந்த aⁿ   +  bⁿ    =  cⁿ  எனும்  பொதுச் சமன்பாட்டில் , n>2 என்ற நிபந்தனைக்கு a,b,c என்ற மூன்றின் எண் மதிப்புக்களும் ஒரே சமயத்தில் நேரெண்ணாகவும் முழு எண்ணாகவும் இருப்பதில்லை என்பதே பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம் (Fermat's Last Theorem) ஆகும். பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம் நெடுங்காலம் கணிதவியல் அடிப்படையில்  நிரூபிக்கப்படாமலே இருந்தது .பின்னர் வந்தவர்களுக்கு அது ஒரு கணக்குப் புதிர் போல இருந்தது. உண்மையில் பெர்மாட் தனது புத்தகமொன்றில் ஒரு பக்கத்தின் ஓர வெளியில் இதற்கான நிரூபணம் பற்றி "உண்மையிலேயே மிகச் சிறந்த தேற்றத்தை நான் கண்டு பிடித்து விட்டாலும் அதை முழுமையாக விளக்கிட தாளில் போதிய இடமில்லை” என்று குறிப்பெழுதியுள்ளார்.அதன்பின் சுமார் முந்நூறு ஆண்டுகளுக்குப்பின் கி.பி.1994-இல் ஆங்கிலேய கணிதவியல் அறிஞர் ஆன்ட்ரு வைல்ஸ் (Andrew Wiles) என்பார் இத்தேற்றத்திற்கு தீர்வு கண்டார்.

n = 2 என்ற நிலையில் இது பிதகோரஸ் (Pythagoras) தொடர்பைத் தருகின்றது. n >3 என்ற நிபந்தனையில் இச் சமன்பாட்டிற்கு முழு எண்களாலான தீர்வுகள் இல்லை என்பதை எண்ணியல் கொள்கைகளைக் (Number Theory) கொண்டு  ஆராயும் போது பல புதிய நிரூபணங்களை நிறுவமுடிகின்றது.

 அறிவைக் கொண்டு அறியாததை அறிந்து கொள்ள முடியும் ஆனால் அறியாமையால் அறிவைப் பெறமுடியாது என்பது வேத வாக்கு இது ஆய்வியல் வழிமுறையில் பொய்மையைக்  கொன்டு உண்மையை  ஆராய்வதை விட உண்மையைக்  கொண்டு  பொய்மையை ஆராய்வது சரியான தீர்வறியக் கூடுதல் பயனுள்ளதாக இருக்கும்   என்ற பேருண்மையைத் தெரிவிக்கின்றது. இது நீண்ட காலமாக சரியான தீர்வு காணப்படாமல் இருந்த பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கும்  பொருந்தும்.

இதில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட தீர்வறியாத பொதுச் சமன்பாட்டின் சமநிலையும் (aⁿ   +  bⁿ    =  cⁿ ) அதைக் கட்டுப்படுத்த விதிக்கப்பட்ட  நிபந்தனையும் (a.b.c மூன்றும் முழு எண்களாகவும் , மடி எண் 3 அல்லது மூன்றுக்கும் மேற்பட்ட  எண்ணாகவும்) தனித்தனியே கணக்கு விதிமுறைப்படி சரியானதே என்றாலும்  நிபந்தனைக்குச்  சில சமன்பாடுகள் உட்பட்டு  தீர்வுகளைத் தருகின்றன ,இவை நிபந்தனைக்கு உட்படாத தீர்வுகளையும் தரும். எடுத்துக்காட்டாக n = 2  என்ற நிலையில் சமன்பாடு முழு எண்களாலான தீர்வுகளோடு  கூறுபடா எண்கள்(irrational) மற்றும் சிக்கல் எண்களாலான தீர்வுகளையும் கொண்டிருப்பதைக் குறிப்பிடலாம் . சில சமன்பாடுகள்  நிபந்தனைக்கு உட்படாத தீர்வுகளை மட்டுமே தருகின்றன. பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்தில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் சமன்பாடு அத்தகையதே . இதன் அடிப்படையில் பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கு ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட பல நிரூபனங்களை நிறுவமுடியும் . அதைப்பற்றி விரிவாக  காண்போம்.

நிரூபணம் - 1

ராமானுஜன் தேற்றமும்   ₃R³₁  வகைச் சமன்பாடும்

இரண்டு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையை ஒரு மும்மடியாகக் காட்ட முடியாவிட்டாலும் இரண்டு ,மூன்று , நான்கு என உயர் எண்ணிக்கையிலான மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையாகக் காட்டமுடியும். _nR³₁  வகைச் சமன்பாடுகளுக்கான சில எடுத்துக்காட்டுகள்

                           

                                  ₃R³₁   ;  [3,4,5=6]³,  [8,6,1= 9]³ , [ 22,17,4 = 25]³,  [ 38,43,66 = 75]³

                                  ₄R³_{1  ;} [11,12,13,14 = 20]³

                                 ₅R³₁  :  [8,8,6,4,3 = 11]³  , [12,6,5,4,4 = 13]³ , [ 10,10,5,4,2 = 13]³

                                 ₆R³₁ ;  [21,21,15,3,3,1= 28]³  , [31,33,35,37,39,41= 66]³    

ஒரு சமயம் ராமானுஜன் இரு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையை   இரு வேறு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையாகக் காட்டும் மிகச் சிறிய எண் 1729  என்று கூறி அதை 1729 = 9³   +   10³    =   1³  +  12³  என்று குறிப்பிட்டுக்காட்டினார் . ராமானுஜன் இத்தகைய எண் தொடர்புகளுக்கான ஒரு பொதுச் சமன்பாட்டை நிறுவியுள்ளார் (பக்கம் 266 ,தொகுதி  II NBSR  ராமானுஜன்  நோட்டுப்புத்தகம்  2 ). p,q,r  என்ற மூன்றின் மதிப்புக்களும், சார்பிலா  மதிப்புள்ள a,b ஆல் ஆன ஒரு இருமடியோடு [(a+b)² ] தொடர்புபடுத்தி

 p = (a+b)²  - 3a²   ; q = (a+b)² – 3ab ; r = (a+b)²  - 3b² .இத் தொடர்புகள்  q – p = 3a(a-b) , r - q = 3b(a-b)  போன்ற துணைத் தொடர்புகளைத் தருகின்றன. m,n  என்ற சார்பிலா இரு எண்கள் நிபந்தனைக்குட்பட்டp,q,r   மும்மடிகளுடனான ஒரு தொடர்பைத் தருகின்றது.

                  m (mq +nr)³  +  n (mp+nq)³   =   m (np + mq)³  + n (nq + mr)³

இத் தேற்றத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட  நேர்வு

  

       (3a² + 5ab – 5b² )³   + ( 4a² – 4ab + 6b²)³  +  (5a² – 5ab – 3b² )³  = (6a² – 4ab + 4b² ) ³

a,b  க்கு முழு எண் மதிப்புக்களைக் கொடுத்து  ₃R³₁  வகைச் சமன்பாட்டிற்கான எண் தொடர்புகளைப்  பெறலாம். சுருங்கா எண் தொடர்புகளுக்கான  சில எடுத்துக்காட்டுக்கள்

                                      a                   b           [a,b,c = d]³

                                      1                   0            [3.4.5= 6]³

                                                           2             [7,14,17= 20]³

                                                           3           [27,30,37 = 46]³

                                                           4           [54.57.63= 84]³ 

                                       2                  3          [ 3,36,37 = 46]³

                                       3                  1           [27,30,37=46]³ 

                                                         

a = b  என்ற நிலையில் இப் பொதுச் சமன்பாட்டில் உள்ள ஒரு கூறு எதிர்குறியுடையதாகி விடும்போது  ₂R³₂  வகைக்கான எண் தொடர்புகளைத் தருகின்றன மேலும் இரு பக்கங்களிலும் உள்ள இரண்டு மும்மடிகளும் சமமானவைகளாக இருக்கின்றன      

இச் சமன்பாட்டில் a,b யின் மதிப்புக்களை பரிமாற்றம் செய்துகொண்டாலும் எண் தொடர்பு மாறாதிருக்கின்றது. b = 0 , a = 1  என்ற நிபந்தனை சுருங்கா எண்   தொடர்புகளையும், a  யின் உயர் மதிப்புகள்  சுருங்கும் எண் தொடர்புகளையும் தருகின்றது

இத் தொடர்பில் இருக்கும் நான்கு உறுப்புக்களில் ஏதாவதொன்றை சுழியாகக் கொன்டு  ஒரு குறிப்பிட்ட முழு எண்ணாலான b அல்லது a  யின் மதிப்பிற்கு மற்றொன்றின் மதிப்பைக் கணக்கிட்டறிந்தால். அதன் மதிப்பு எப்போதும் கூறுபடா எண் மதிப்புள்ளதாக இருக்கின்றது. a,b க்குள்ள தொடர்பை  a = [ ± 5b ± b (85)^1/2 ] / 6 அல்லது a = [ 4b ± ib (80)^1/2] / 6 என்று காட்டலாம்,

 இது ஒரு மும்மடியை இரு மும்மடிகளின் கூட்டுத் தொகையாகக் காட்ட முடியாது என்பதைத் தெரிவிக்கின்றது .