Fermat's Last Theorem - New Proofs

அல்ஜீப்ராவைப் பயன்படுத்தி  ஒரு பொதுச் சமன்பாட்டை நிறுவி,  அதன் சமனுக்கான நிபந்தனையை ஏற்படுத்திக்கொண்டு தீர்வுசெய்து ₂R³₁  வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்     

(x +ma)³  - (x –ma)³  =[(x-na)/b + c]³  -  (x-na)/b – c ]³ என்ற ஒரு பொதுத் தொடர்பைக் கருதுவோம். இதில் x,a,b,c,m,n  முழு எண்களாலான மாறிகளாக இருக்கட்டும். மேலும்  b > 1 , m ≠ n ,  இச் சமன்பாடு  m³ a³  + 3max²  =  c³  + (3b/c²) (x-na)². c = mab²

என்ற நிபந்தனைத் தொடரபைத் தரும் . இது   x = (a/6n) [ m²b⁶ + (3n²  - m²) ] என்ற தீர்வைத் தருகின்றது. இம் மதிப்பை பதிலீடு  செய்து எடுத்துக் கொண்ட பொதுத் தொடர்பை m,n,b என்ற மூன்று சார்பிலாமாறிகளோடு மட்டுமே தொடர்புடைய  ஒரு அல்ஜீப்ரா தொடர்பை ஏற்படுத்திக் கொள்ள முடியும்.

{b[m²b⁶ + (3n²  - m²) + 6mn)]³ + [m² b⁶ + (3n²  - m²) – 6n² – 6mnb³]³ = {b[m²b⁶ + (3n²  - m²) - 6mn)]³ + [m² b⁶ + (3n²  - m²) – 6n²  + 6mnb³]³

சார்பிலா மாறிகளுக்கு விருப்பம்போல மதிப்புக்களைக் கொடுத்து  எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம் .

                 m           n             b                                       [ a,b,c = d]³

                        1            2             2               [45,126,147=174]³  à [ 15,42,49=58]³

                1            3             2               [108,144,180= 216]³ à [3.4.5=6]³

                2            3             2               [63,486,,513=630]³  à [ 7,54,57 = 70]³

               `1           4              2               [174,177,207= 270]³ à [ 58,59,69 = 90]³

                       2            4              2               [180,504,588= 696]³  à [ 15,42,40 = 58]³

                      3            4              2                [57,1086,1095= 1374]³  à [19,362,365= 458]³

 

இதிலுள்ள இரண்டாவது கூறை சுழியாக்கிக் கொண்டால்  m² b⁶ = 3n² + m² + 6mnb³

இதை ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாகக் கொண்டு  b³ ஐ  தீர்வு செய்தால் b³ = (3n/m) ± (1/m) √ (12 n²  + m²)^.. b கூறுபடா எண்ணாகவும் , சிக்கலெண்ணாகவும் இருப்பதால், ₃R³₁   வகைச் சமன்பாட்டை  முழு எண்களாலான₂R³₁  வகைச் சமன்பாடாக மாற்ற முடியாது  என்பது உண்மைக்கு மற்றொரு நிரூபணமாக இருக்கின்றது.

   

அல்ஜீப்ராவைப் பயன்படுத்தி ₂R⁴₂  வகைக்கான பொதுத் தொடர்புகளை விருப்பம்போல பல விதமாக அமைத்துக் கொள்ளலாம்.சமனின் அடிப்படையில் , தொடர்பிலுள்ள சார்பிலா மாறிகளுக்கிடையிலான தொடர்புகளை ஏற்படுத்திக்கொண்டு எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்

எடுத்துக்காட்டாக,  (x - a )³  + ( x + a )³  = (x  - a + pn)³  + (x + a – qn)³ என்ற தொடர்பைக் கருதலாம்.p க்கும்  q க்கும் சில அனுகூலமான மதிப்புக்களையும்  n க்கு நிபந்தனைக்குட்டபட்ட மதிப்புக்களையும்  கொடுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, p = 9 , q = 1,  என்ற நிலையில்  

12nx² – [30 na – 123n²]x  + [ 12na²  -120n²a + 364 n³ ]  =  0

n = 3  எனக்கொண்டு x,a ன் மதிப்புக்களைத் தீர்வு செய்தால்

x = [(30a – 369) ±  3 √ 36a² -540a – 2343]/24

a = [45 ± √ [4368 + S² ]/6

இதில்  S² = 36 a² – 540a – 2343

n  = 3 க்கு  சில எளிய தீர்வுகளை S க்கு சில  அனுகூலமான மதிப்புக்களால் பெறமுடியும்

                         S          a                      x             [a.b.c =d]³

                                  11         56/3                       28/3           [28,53,75=84]³

                                                         79/12        [145,179,267 = 303]³

                                 31       59/3                16/3           [ 38,43,66=75]³

                                                 -14/5                     157/12       [79.245,357 = 393]³

                                64       137/6              127/6         [5.76,123=132]³

                      71        71/3               16/3          [26,55,78=87]³

                                                 -26/3               277/12      [7,317,,525=561]³

n -ன் உயர் மதிப்புகளுக்கான எண்தொடர்புகள்  சுருங்கி n  = 3 க்குரிய  எண் தொடர்புகளாகிவிடுகின்றன.

எந்தவொரு பொதுத் தொடர்பையும் நிபந்தனைக்கு உட்படுத்தி அதிலுள்ள ஏதாவதொரு உறுப்பைச் சுழியாக்கிக் கொள்ளலாம் . ஆனால் அப்படிச்  செய்யும் போது மடி மூல எண்கள் முழு எண்களாக இருப்பதில்லை  என்ற தேற்றத்தை  இந்த பொதுத் தொடர்பும்  விளக்குகின்றது . x = a  என்ற நிலையில்  தொடர்பிலுள்ள (x-a)  என்ற உறுப்பு சுழியாகி விடுகின்றது.  x = a = (30a -369) ± 3 √ ( 36a²  - 540a  - 2343) என்பதால்  2a² - 3a – 1092m= 0 . இது x = a = [ ±3 + √ 8745]/4 என்ற தீர்வையும் 27³  + [( -3 + √ 8745)/2]³  = [(3 + √ 8745)/2]³       என்ற எண் தொடர்பையும் தருகின்றது                

இரண்டு அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட மாறிகளின்றி  ஒரு மாறியின் வெவ்வேறு மடிகளைக் கொண்டு  ஜெரார்டின் (Gerardin) என்பார் ₂R⁴₂   வகைக்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பை அறிந்துள்ளார்.

(a+3a²-2a³+a⁵+a⁷)⁴ + (1+a²-2a⁴-3a⁵+a⁶)⁴ =   (a-3a²-2a³+a⁵+a⁷)⁴ + (1+a²-2a⁴+3a⁵+a⁶)⁴

a=2 என்ற மதிப்புக்கு கொடுக்கும் போது ₂R⁴₂   வகைக்கு மிகச் சிறிய எண்தொடர்பைத் தருகின்றது

                                    158⁴   + 59⁴  = 134⁴  + 133⁴

இதில் முதலுறுப்பைச்  சுழியாக்கிக் கொண்டால்    a= 0 என்ற மதிப்பைத் தவிர்த்துக்கொண்டால் a -ன் மதிப்பு சுழியிலிருந்து -1  க்கு உட்பட்ட பின்ன மதிப்புக்களைப் பெற்றிருக்கின்றது . இரண்டாவது உறுப்பைச் சுழியாக்கிக் கொண்டால் a -ன் மதிப்பு சுழியிலிருந்து 1  க்கு உட்பட்ட பின்ன மதிப்புக்களைப் பெற்றிருக்கின்றது. எந்த நிலையிலும் முழு எண்களாலான எண் தொடர்பை ஏற்படுத்த முடிவதில்லை. பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம் 714,591,416,091,389 வரையிலான உயர் மடியெண்களுக்கும் உண்மையானது என்பதை கிரண்வில் (A.Cranville) என்பார்  கணனியின் உதவியோடு நிருபித்துள்ளார்.  

sonnathum sollaathathum

புத்தரின் பொன்மொழிகள்.

“ஆசையை வென்ற மனிதனை இந்த உலகில் யாராலும் வெல்ல முடியாது”

ஆசையே எல்லாத் துன்பங்களுக்கும் காரணம் , தகாத ஆசைகளைத் துறந்த மறு நொடியே மனத்தில் மகிழ்ச்சி பூக்கின்றது. ஆசைகளைத் துறப்பதற்கு மனம் எளிதில் ஒப்புக்கொள்வதில்லை. சுய இன்பம் தரும் தகாத ஆசைகள் இரு வழிகளில் எதிர்வினையாற்றத் தூண்டுகின்றன .  இயற்கைக்கு முற்றிலும் எதிரானது என்பதாலும்,பிறரோடு குறுக்கிடுவதால் ஏற்படும் பகைமையை வளர்த்துக் கொள்வதாலும் ஏற்படும் இழப்பு இரட்டிப்பாகின்றது .தீயனவற்றை ஏற்றுக்கொள்வதால் நல்லனவற்றை நிரந்தரமாக இழக்க   வேண்டியிருக்கும் .

ஆசைகள் ஒரு மனிதனின் பலவீனம்.  ‘நல்ல நம்பிக்கை’, ‘நல்லெண்ணம்’, ‘நல்வாய்மை’,  ‘நற்செய்கை’, ‘நல்வாழ்க்கை’,‘நன்முயற்சி’, ‘நற்சாட்சி’, ‘நல்ல தியானம்’ போன்ற  எட்டு வழிகள் பலம் பலத்தால் பலவீனத்தை வெற்றிகொள்ள வேண்டும் ..பலவீனமில்லாத மனிதனை வீழ்த்தி வெற்றிபெற முடியாது.     

“நல்ல உடல் நலத்தைப் பெற்று மகிழவும் தன் குடும்பத்தில் நிறைவான மகிழ்ச்சியும் இன்பமும் பொங்கவும் எங்கும் அமைதியை ஏற்படுத்தவும் எங்கும் அமைதியை ஏற்படுத்தவும் ஒருவர் முதலில் செய்யவேண்டியது ஒழுக்க நெறிகளைப் பின்பற்றி தன் மனதைத்  தானே  கட்டுப்படுத்திக் கொள்ள  வேண்டும். ஒரு மனிதனால் அவனது மனத்தைக் கட்டுப்படுத்த முடியுமானால் அவனால் மட்டுமே மகிழ்ச்சிக்கான  வழியைக் காட்டமுடியும். அதற்கான அறிவும் ஆற்றலும் இயற்கையாகவே அவரிடம் உண்டாகும்”

“ஒவ்வொருவரும் உடலைத் தூய்மையாக வைத்துக்கொள்வது அவரவர் கடைகையாகும்   கடமை தவறினால் மனத்தைத் தூய்மையாகவும் வலிமையாகவும் வைத்துக்கொள்ள முடியாது “

உடல் என்பது மனம் குடியிருக்கும் கோயில். .மனமே உடலை இயக்கம் கருவி . உடலோ செயல்களைச் செய்ய உதவும் கருவி .மனம் நலமாக இருந்தால்தான் உடலும் முமையான நலத்தைப் பெறும் , அதனால் செய்யப்படும் செயலும் சிறப்பாக இருக்கும் . உடல் வலுவாக இருந்து மனதை வேறு எங்கோ பறிகொடுத்து விட்டு , ஒரு செயலைச் செய்வதால் அது முழுமையான வெற்றியைத் தருவதில்லை . மாணவர்களின் கல்வி , அலுவலர்களின் பணி சிறப்பாக வெளிப்படாததற்கு இதுவே அடிப்படைக் காரணம்

மகிழ்ச்சியான வாழ்க்கைக்கு மனக் கட்டுப்பாடு மிக முக்கியம் .நம்முடைய மனதை நாமே கட்டுப்படுத்த முடியா விட்டால் வேறு எவராலும் கட்டுப்படுத்த முடியாது . மனம் ஒரு குரங்கு . எண்ணங்களுக்கிடையே  தொடர்ந்து தாவிக்கொண்டே இருக்கும் ஒருமுகப்படுத்தப்படாத சிந்தனைகளால் செயல்கள் தொடங்கப்படுவதும் இல்லை ,முடிக்க;ப்படுவதுமில்லை . கடிவாளமிடப்படாத குதிரை எத்திசை வேண்டுமானாலும்  செல்லும். அதன் நோக்கும் போக்கும் அப்படி .ஆனால் கடிவாளமிடப்பட்ட குதிரை தான் செல்லும் வழித்தடத்தில்  மட்டுமே செல்லும். குதிரையைப் போல மனதையும் கட்டுப்பாடு என்ற கடிவாளமிட்டு வாழ்க்கையை ஓட்ட வேண்டும் .

தூய்மையற்ற மனம் ஒருவருக்குத் தாற்காலியமான சுகத்தை மட்டுமே கொடுக்கின்றது. ஆனால் தூய்மையான மனம் அவருக்கும் . அனைவருக்கும் நிரந்தரமான சுகத்தைக் கொடுக்கின்றது. தாற்காலிய சுகத்தை மட்டுமே அனுபவிக்கப் பழகிய மக்களால் நிரந்தரமான சுகத்தை புரிந்து கொள்ளவே முடியாது . அது மது என்றால் இது குடிநீர் .    .

“கடந்த காலத்தில் மூழ்கிக் கிடைக்காதே , எதிர் காலத்தைப் பற்றிய கனவு கண்டுகொண்டிருக்கதே .  நிகழ் காலத்தின் ஒவ்வொரு நிமிடத்தையும் அனுபவிக்க   சிந்தி”

பிறப்பு என்பது இறந்த காலம். இறப்பு என்பது எதிர்காலம். அதைப்பற்றிச் சிந்திப்பதற்கோ , கவலைப்படுவதற்கோ ஏதுமில்லை.. ஒவ்வொருவருக்கும் இறைவனால் கொடுக்கப்பட்ட அன்பளிப்பு நிகழ்காலம் மட்டுமே. .நிகழ்காலத்தை பயனுள்ளவாறு கழிக்கத் தெரிந்து கொண்டுவிட்டால் , எதிர்காலம் இயல்பாகவே நன்றாக அமைந்துவிடும். எதிர்காலத்தைப் பற்றி கனவு காணாமல் கடந்த கால  அனுபவங்களை நிகழ்காலத்தில் பயனில் கொண்டு கடமையாற்றினால் கனவில் காண விரும்பிய எதிர்காலத்தை விட மேலான ஒரு எதிர்காலம் தானாக வரும். இனிய வாழ்க்கை என்பது நிகழ்காலத்தின் ஒவ்வொரு நொடியையும் அனுபவித்து வாழ்வதுதான் . ஆனால் பலர் அனுபவித்தலுக்குத் தவறான பொருள் கொண்டுவிடுகின்றார்கள் .அல்லது ஏதும் தெரியாமல் சும்மாவே காலத்தைக் கழித்து விடுகின்றார்கள் . அனுபவம் எப்போதும் செயல்களுக்குப் பின்னே வருவது. ஒருபோதும் பலனை முன்பலனாகக் கொடுப்பதில்லை.  

  . 

“ சோம்பலும் சோர்வும் கொண்டு நூறு ஆண்டு வாழ்வதை விட, ஒரு நாள் உழைத்து  வாழ்வது மேலானது”.

எவ்வளவு ஆண்டுகள் வாழ்ந்தோம் என்பது முக்கியமில்லை , எப்படி வாழ்ந்தோம் என்பது தான் முக்கியம் என்பார்கள். இறந்த பின்பு நிலைத்து வாழும் ஒருவருடைய  சிறப்பு  அவருடைய நீண்ட ஆயுளால் வருவதில்லை. அது எப்படி வாழ்ந்தார் என்பதைப் பொறுத்து அமைகின்றது.. குறுகிய வாழ்வேயானாலும் அதில் செயற்கரிய காரியங்களைச் செய்து முடிக்கவேண்டும்..அதனால் ஏற்படும் புகழ் அவன் வாழ்நாளையும் தாண்டி உலகம் உள்ளளவும்  நிலைத்திருக்கும்.  

ஒவ்வொருவரும் தன்னுடைய வேலைகளைத் தாங்களே செய்துகொள்ள இறைவன் எல்லோருக்கும் ஒத்த கருவிகளால் ஆன உடலைக் கொடுத்துள்ளார் கொடுத்த கருவிகளை ப் பயன்படுத்தி வாழாமல் பிறருடைய கருவிகளால் வாழ நினைப்பது தவறு . அதற்குக் கருவிகளோடு பிறக்காமலேயே இருந்திருக்கலாம் ..பிறருடைய உழைப்பில் வாழும் எவரும் காலப்போக்கில் அவசியமான நேரத்தில் கூட தங்களுக்குத் தாங்களே உதவி செய்து கொள்ள முடியாமல் துன்பப்படுவார்கள் . யார் இறுதிவரை உழைத்து வாழவேண்டும் என்ற உறுதியோடு இருக்கின்றார்களோ அவர்களே மேலான வாழ்க்கை வாழ்கின்றார்கள். படைப்பில் இறைவனுடைய எதிர்பார்ப்பும் அதுதான்

“எந்த காலம் காயை கனியாக்குகிறதோ, அந்த காலம் கனியை அழுகவும் செய்கிறது”.

நம்முடைய அறியாமையால் ஏற்படும் தவறுகளை ஒப்புக்கொள்ளாமல் பலர் காலத்தை க் குறை கூறுவார்கள். .காலத்தில்  நல்ல காலம் , கெட்ட காலம் என்று இல்லை. அது உண்மையில் இயற்கையின் எந்தச் சூழ்நிலையையும் பொருட்படுத்துவதில்லை . அதன் ஓட்டத்தை யாராலும் நிறுத்திவைக்கவும்  முடியாது . அதுபோலத்தான்  வாழ்க்கை  இன்பமும் துன்பமும் கலந்தது .செயல்கள் வெற்றியும் தோல்வியும் சேர்ந்தது .வெளி ஒளியும் இருளும் கொண்டது , சுவை இனிப்பும் கசப்பும் இணைந்தது

பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம்- நிரூபணம் -2

பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றம்- நிரூபணம் -2

மும்மடி எண் தொடர்புகளின் பொதுப் பண்பும்  தீர்வும்

மும்மடி எண்கள் சில குறிப்பிட்ட பொதுப் பண்புகளைப் பெற்றுள்ளன. ஓரெண்ணின்  மும்மடிக்கும் (x³ )  மடி மூல எண்ணிற்கும் (x) உள்ள வேறுபாடு x³ – x = x ( x²  - 1)  = (x-1)x(x+1). இது இயலெண்  தொடரில்  அடுத்தடுத்துள்ள மூன்று ண்களின்

பெருக்கல் என்பதால் அதற்கு 6  ஒரு பொதுக்காரணியாக இருக்கின்றது. இப்பண்பு  (x-1)x (x +1) = 6n  என்று தெரிவிக்கின்றது. எனவே மும்மடி எண்களை  x³ = 6n_x  + x  என்ற தொட ர்பால் குறிப்பிடலாம். மும்மடி எண்களின் இப் பண்பை  ₃R³₁  வகைச் சமன்பாடுகளில் பயன்படுத்தி பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்திற்கு ₂R³₁   உட்பட்டிருப்பதை உறுதிசெய்யலாம்.

a³  + b³  + c³  = d³  என்ற பொதுத் தொடர்பில்  d  ன் மதிப்பு   a,b,c ன் மதிப்புக்களை விட அதிகமாக இருக்கும் என்றாலும் அவற்றின் கூட்டுத் தொகையை விடக்  குறைவாக இருக்கும்

                                                             d > a,b,c  ; d < a+b+c

எனவே  d = a +p = b + q = c+r  என்று கொள்ளலாம் . d = c + r  என்று வைத்துக்கொண்டு அதை பொதுச் சமன்பாட்டில் பதிலீடு செய்ய ,

          

                 a³  + b³  + c³  = d³

                6(n_a + n_b + n_c) + (a+b+c) = 6n_d  + d = c+r

                a+b = 6(n_d – n_a – n_b – n_c) + r  =  6n + r

                a³  + b³  =(a+b)³  - 3ab (a+b) = (6n+r)³  - 3ab(6n+r)

மேலும்

             a³  + b³  + c³  = d³  = (c+r)³

             a³  + b³  = r³ + 3cr(c+r)

இரு சமன்பாடுகளையும் ஒப்பிட,

3c²r + 3cr² + r³  -  (6n+r)³  + 3ab(6n+r) = 0

இருபடிச் சமன்பாட்டை தீர்வு செய்து c  ன் மதிப்பை அறியலாம் . இது r , n , (a + b )  இவற்றின் மதிப்புக்களைச் சார்ந்திருக்கிறது.

c =- (r/2) ± (1/2r) [ r⁴ + 288n³  r +144 n²  r² + 24 n r³  - 4abr (6n+r) ]^1/2

              r            n          a+b           a³  + b³  + c³  = d³

             1             1            7                  [1,6,8=9]³

             1             2          13                  [3.10,18 = 19]³

             1             3          19                  [2,17,40 =41]³

             1             4           25              தொடர்பு இல்லை 

             1             5          31                 [12,19,53=54]³

             1             6          37                 [14,23,70 = 71]³

             1             7          43                 [12,31,102=103]³

              1            8          49                தொடர்பு இல்லை

                1             9            55                  தொடர்பு இல்லை

இந்த வழிமுறை a³  + b³  + c³  = (c+r)³  என்ற பொதுத் தொடர்புக்கு முழு எண்களாலான தீர்வுகளைப் பெறப் பயனுள்ளதாக இருக்கின்றது.

a  யின் எல்லா முழு எண் மதிப்புகளுக்கும்  ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட  ₃ R³₁   தொடர்பை ஏற்படுத்த முடியும்

[1,6,8=9]³, [2,17,40 = 41]³ , [3,10,18=19]³, [4,57,248 =249]³ ,[5,86,460 =461]³ , [6,121,768 = 769]³,

[7,162,1190=1191]³, [8,209,1744 =1745]³ , [9,262,2448= 2449]³, [10,321,3320 = 3321]³

இது போன்ற எண்  தொடர்புகளை

a³ + [6T_a  - (a-1)]³  + [ 8a + 3a(a² + a – 2) ]³  = [ 8a + 1 + 3a(a² + a – 2) ]³

என்ற பொதுத் தொடர்பால் பெறமுடியும். இது போல ஒரு குறிப்பிட்ட a யின் மதிப்பிற்கு ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட  எண் தொடர்புகளை நிறுவலாம். (a=3) ,(a=7) என்றிருக்கும் போது

[3,4,5=6]³ ,[3,10,18=19]³ , [3,34,114=115]³ , [3,36,37=46]³

[7,14,17=20]³ , [7,317,525=561³, [7,162,1190 = 1191]³

போன்ற எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம்.

     

₃ R³₁     வகை பொதுச் சமன்பாட்டில் ஏதாவதொரு மூல  எண் சுழியானால்  அது ₂R³₁   வகைக்கான ஒரு பொதுச் சமன்பாடாகும். a  சுழியானால் இச் சமன்பாடு 1³  = 1³ என்று மட்டுமே மாற்றம் பெறுகின்றது.  b சுழியானால் இச் சமன்பாடு 6T_a = (a-1) என்ற நிபந்தனையை ஏற்படுத்துகின்றது . இந்த நிபந்தனை a = 0 , T_a  = 0  என்ற நிலையில் மட்டுமே உண்மையானதாக இருக்கின்றது. c = 0 எனில் , a ஒரு சிக்கல் எண்ணாகி விடுகின்றது. ஒரு உறுப்பைச் சுழியாக்கிவிட்டு ₃ R³₁  தொடர்பை ₂R³₁  தொடர்பாக மாற்றமுடியாது என்று இது தெரிவிக்கின்றது. இது பெர்மாட்டின் இறுதித் தேற்றத்தை உறுதிப்படுத்துவதாக இருக்கின்றது.