Sonnathum Sollathathum

அடல் பிஹாரி வாஜ்பாய்

ஊழலைப் பொறுத்த மட்டில்  சமரசம் என்ற பேச்சுக்கே இடமில்லை

ஊழல் நாட்டின் பொருளாதார முன்னேற்றத்தை ப் பெரிதும் மட்டுப்படுத்தக் கூடியது. நாட்டிற்கு அது புற்று நோய் போல . வளர்ச்சியை அரித்தெடுத்து காணாமற் செய்துவிடும் .தீயவர்களிடம் உழைப்பின்றி  பொருள் குவிவதை இது ஊக்குவிப்பதால் ஆக்கம் தரும் உழைப்பு குறையும் , விலைவாசி உயரும் , ஊழல் செய்யாதவர்களால்  இதைச் சமாளிக்க முடியாமல் போவதால், அவர்களும் ஊழல் செய்யத் தூண்டப்படுவார்கள். இது இன்றைக்கு லஞ்சமாக வளர்ந்து வருகின்றது . லஞ்சம் கொடுக்க ஏழை மக்கள் இன்னும் அதிகமாக உழைக்க வேண்டிய கட்டாயம் ஏற்படுகின்றது.

ஊழலும் ,லஞ்சமும் பொருளாதார மந்த நிலையை நிலைப்படுத்திவிடுகின்றன. . நாட்டின் வளர்ச்சியில் உண்மையான அக்கறை கொண்ட ஒரு அரசாங்கம் கட்டுப்படுத்துவதோடு நின்றுவிடாமல் முழுமையாக ஒழித்துக் கட்டவேண்டும். சுயநலமிக்க அரசியல்வாதிகளால் அமையும் அரசாங்கம் தொலைநோக்குப் பார்வையற்று நாட்டின் நலத்தை ஒதுக்கிவிடுகின்றது . அரசாங்கமே ஊழலைச் செய்தால் , அந்த நாடு ஒரு காலகட்டத்தில் அழிந்து போய்விடுவதற்கான வாய்ப்பே உருவாகும் . ஒரு பெற்றோர் தனக்குப் பிறகும்  தம் மக்கள் நலமாக வாழவேண்டும் என்று நினைத்துச் செயல்படுவதைப்  போல ஒரு அரசாங்கமும் நாட்டும் மக்கள் தொடர்ந்து நலமாக வாழவேண்டும் என்று செயல்படவேண்டும். எதிர் கட்சி தலைவர்களை ஒழித்துக் கட்டுவதிலேயே காலத்தை வீணாக்கிவிடக்கூடாது

தனிமனிதர்களின் வளர்ச்சி . மேம்பாடே  நாட்டின் வளர்ச்சி மேம்பாட்டிற்கு காரணமாக இருக்கின்றது . சமூக சமுதாய மாற்றங்களுடன் கூடிய  விரைவான  பொருளாதார வளர்ச்சி மூலம்  இந்த உரிமை மாற்றம் மக்களுக்கு மகத்தான சேவை புரிகின்றது

தனிமனிதர்களின் வளர்ச்சியே ஒரு நாட்டின் வளர்ச்சியைத் தீர்மானிக்கின்றது மக்களாட்சியில் வழிமுறைகளை நெறிப்படுத்தவும்  பலன்களை மக்களுக்குப் பங்கீடு செய்யவும்  ஏற்படுத்தப்பட்ட ஓர் அமைப்பே அரசாங்கம்.. சமூக மற்றும் சமுதாய வளர்ச்சியை மேம்படுத்த இருக்கும் சிறந்த  வழிமுறைகளுள் ஒன்று  தனிமனிதர்களின் திறமைகளை வெளிப்படுத்துவதற்கு சுதந்திரமான உரிமைகளை அவர்களுக்கு வழங்குவதுதான் .சுயநலம் குறுக்கிடும் போது உண்மையிலேயே திறமையுள்ளவர்கள் புறக்கணிக்கப்படுகின்றார்கள்.

ஒரு அரசாங்கம் மக்கள் நலத் திட்டங்களை முன் மொழிவதோடு நின்றுவிடாமல் அதைச் செயல்படுத்துவதில் தீவிரமாகச் செயல்படவேண்டும். முன்மொழிவதை யார்  வேண்டுமானாலும் .செய்யலாம் ஆனால் செயல்படுத்துவதை  அரசாங்கம் மட்டுமே செய்ய முடியும் .. மக்கள் தங்கள் பொறுப்புக்களை உணரவேண்டும் என்பது முக்கியம் ஆனால் அதைவிட முக்கியம் அரசாங்கம் தன் பொறுப்புக்களை முழுமையாக உணர்ந்து செயல்படவேண்டும் என்பது. பொறுப்புக்களைத் துறந்த அரசாங்கத்தால் மக்களும் பொறுப்புக்களைத் துறப்பார்கள். பொறுப்பற்ற மக்களால் நாடே பொறுப்பற்ற நாடாகிவிடும்.

முன்னேற்றத்திற்கு அமைதி என்பது அவசியமானதும் முக்கியமானதும் ஆகும்

தனிமனிதர்களாகட்டும் , இல்லை நாடாகட்டும் தடையில்லாத முன்னேற்றத்திற்கு அமைதி அவசியமாகும். ஒருவர் மீது ஒருவர் நம்பிக்கை இல்லாமல் சந்தேகம் ,பொறாமை பேராசை போன்ற தீய குணங்களால் மனதில் தேவையில்லாமல் ஒரு குழப்பத்தை வளர்த்துக் கொண்டால்  முன்னேற்றம் இல்லாமல் போவதுடன் பின்னேற்றமும் பின்தொடரத் தொடங்கும். இது தானும் முன்னேறாமல் மற்றவர்கள் முன்னேறுவதையும் தடுப்பதாகும்.. மக்களிடம் அதற்கான சூழ்நிலை ஏற்படுமாறு நடந்து கொள்ள வேண்டியது அரசாங்கத்தின் கடமையாகும். அமைதி என்பது வெறும் வார்த்தைகளால் வந்து விடுவதில்லை மக்கள் மனம் ஒப்புக் கொள்ளாமல்  அதிகாரத்தால் அமைதியை நிரந்தரமாக ஏற்படுத்திவிட முடியாது . எல்லோருக்கும்  நம்பிக்கை தரக்கூடிய நிகழ்வுகளோடு தொடர்புடையதாக இருக்கின்றது.

வளரும் நாடுகளில் இருக்கும் பொருளாதாரச்  சீரழிவுகள் வளர்ந்த நாடுகளில் பெருவாரியான மக்களிடையே ஒரு கொந்தளிப்பை  ஏற்படுத்துவதற்குக் காரணமாக உலகளாவிய நாட்டிடைத் தொடர்புகள் இருக்கின்றன.

ஒரு நாடு தன் வளத்தை சரியாகப் பயன்படுத்திக் கொள்ளத் தெரியாமல் முன்னேற்றப்பாதையில் தடுமாறும் போது அந்நாட்டின் வளத்தைச் சுரண்டுவதற்காகவே அந்நாட்டுடன் வர்த்தக உறவை வளர்ந்த நாடுகள் மேற்கொள்கின்றன. வளர்ந்த நாடுகள் வளரும் நாடுகளை கைகோர்த்து அழைத்துச் செல்லவேண்டும். வளரும் நாடும் தங்கள் நாட்டின் வளத்தை பயன்படுத்திக் கொள்ளத் தேவையான தொழில் நுட்ப  உதவிகளை வளர்ந்த நாடுகள்  வழங்கவேண்டும்.           

நண்பர்களை மாறிவிடமுடியும் ஆனால் அண்டைவீட்டாரை மாற்ற முடியாது

                                                                                                    

நல்ல நண்பர்கள் நன்மைகளை மட்டுமே தருவார்கள் ஆனால் தீய நண்பர்கள் நம்மையும் தீயவர்களாக்கிவிடுவார்கள்  நட்பை வளர்த்துக்கொண்ட பின்னர்   நண்பர்களை மாற்றிக்கொள்ள முடியாது. மாற்றிக்கொண்டாலும் அதன் பாதிப்பு தொடர்ந்து வரும். என்பதால் நண்பர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் ஒருவர் கவனமாக இருக்க வேண்டும். அப்படிப்பட்ட நண்பர்களைக் கூட ஒருவர் மாற்றிக்கொண்டுவிடமுடியும் ஏனெனில் அது தன்வினைச் செயல். ஆனால் அண்டைவீட்டாரை மாற்ற முடியாது . ஏனெனில் அது எதிர்வினைச் செயல்.

அண்டைவீட்டாரோடு நல்லுறவு இருக்கும்போதுதான் ஒருவருக்கொருவர் உதவிகள் செய்து கொள்வதுடன் இணைந்து முன்னேற்றமும் காணமுடியும். .இது வீட்டுக்கு மட்டுமல்ல நாட்டுக்கும் பொருந்தும். பிரச்சனையான அண்டைநாட்டாரை மாற்றிக் கொள்ள முடியாமையால் இந்தியா தன் சுய முன்னேற்றத்தில் முழு கவனம் மேற்கொள்ள முடியவில்லை  .

எங்கிருந்தோ வந்து நாட்டை அபகரித்து  சில நூற்றாண்டு காலம் ஆண்டு, உரிமைகொண்டாட வாரிசுகளை வளர்த்து விட்டுச் சென்றதால் நாட்டின் ஒரு  பகுதியை இழந்தோம்.. அவர்கள் எதோ தங்கள் நாட்டை இழந்தது போலச்  சண்டை போடுகின்றார்கள். வெற்றி பெறமுடியாமல் இந்த வன்மத்தை மக்கள் எல்லோரிடமும் திணிக்கிறார்கள் . நல்லவர்களே இல்லாத ஒரு அண்டைநாடு  இந்தியாவிற்கு ஒரு  நிரந்தரமான பிரச்சனை..  .      

பல்லுயிரிகளின் பாதுகாப்பிற்கான பொது இணக்க ஒப்பந்தம் உலகில் வாழும் ஏழைகளின் நல வாழ்விற்கு உறுதியளிக்க வில்லை

 காட்டு விலங்குகள் மனிதர்களால் வேட்டையாடப்படுவதால் சில வகை உயிரினங்கள் இல்லாது போய்விடுமோ என்ற நிலைக்கு ஆளாகியிருக்கின்றன . இவற்றின் அழிவு உலகில் ஈடுசெய்யமுடியாத ஒரு சமநிலைப் பாதிப்பை ஏற்படுத்தும் . அதனால் உலகில் மிகவும் அரிதாகி வரும் உயிரினங்களைப் பாதுகாக்க வேண்டியது அவசியமாகின்றது பல்லுயிர் ஓம்புதலை வலியுறுத்தி உலகெங்கும் சரணாலயங்களும் ,தொண்டு நிறுவனங்களும்  ஏற்படுத்தப்பட்டுள்ளன பல்லுயிரிகளின் பாதுகாப்பிற்கு நடவடிக்கை எடுக்கும் இந்த உலகம் ஏழை மக்களின் பாதுகாப்பை விட்டு  விட்டது ஏழை மக்களும் பல்லுயிரிகளின் தொகுப்பில் ஒரு பகுதியே என்பதை மறந்து போனது .

Fermat"s Last Theorem - New Proofs

சான்டாசெக் (J. Jandasek ) ₃R³₁ வகைத் தொடர்புகளுக்கான ஒரு மாறியுடன் கூடிய  ஒரு பொதுத் தொடர்பை த்  தந்துள்ளார்,  

n³ + (3n²+2n+1)³ + (3n³+3n²+2n)³ = (3n³+3n²+2n+1)³

இதிலுள்ள இரண்டாவது உறுப்பு சுழியானால்  n -ன் மதிப்பு   சிக்கலெண்ணாகிவிடுகின்றது n = [ (-1+ i√ 2)/3]. இதனால் தொடர்பில் உள்ள அனைத்து உறுப்புக்களுக்கு முழு எண்ணாக இருப்பது தவிர்க்கப்படுகின்றது

ஆம்போனின் (Ampon)  இது போன்ற பொதுத் தொடர்பும் இதே கருத்தை சுட்டிக்காட்டுவதாக  இருக்கின்றது.  

(3n²)³ + (6n²+3n+1)³ + (9n³+6n²+3n)³ = (9n³+6n²+3n+1)³

₃R³₁ வகைத் தொடர்பிலுள்ள ஏதாவதொரு உறுப்பைச் சுழியாக்கினால் சார்பிலா

மாறி அல்லது மாறிகள் நிபந்தனைக்கு உட்பட்டு பின்ன அல்லது கூறுபடா அல்லது சிக்கலெண்களை மட்டும் ஏற்பதால்   பிற உறுப்புகள்  முழு எண்களாக இருப்பதில்லை. இது முழு எண்களுடன்  ₃R³₁ வகைத்  தொடர்பை  ₂R³₁  வகைத்  தொடர்பாக மாறவே முடியாது என்பதை அழுத்தமாகத் தெரிவிக்கின்றது.

Fermat's Last Theorem - New Proofs

அல்ஜீப்ராவைப் பயன்படுத்தி  ஒரு பொதுச் சமன்பாட்டை நிறுவி,  அதன் சமனுக்கான நிபந்தனையை ஏற்படுத்திக்கொண்டு தீர்வுசெய்து ₂R³₁  வகைத் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்     

(x +ma)³  - (x –ma)³  =[(x-na)/b + c]³  -  (x-na)/b – c ]³ என்ற ஒரு பொதுத் தொடர்பைக் கருதுவோம். இதில் x,a,b,c,m,n  முழு எண்களாலான மாறிகளாக இருக்கட்டும். மேலும்  b > 1 , m ≠ n ,  இச் சமன்பாடு  m³ a³  + 3max²  =  c³  + (3b/c²) (x-na)². c = mab²

என்ற நிபந்தனைத் தொடரபைத் தரும் . இது   x = (a/6n) [ m²b⁶ + (3n²  - m²) ] என்ற தீர்வைத் தருகின்றது. இம் மதிப்பை பதிலீடு  செய்து எடுத்துக் கொண்ட பொதுத் தொடர்பை m,n,b என்ற மூன்று சார்பிலாமாறிகளோடு மட்டுமே தொடர்புடைய  ஒரு அல்ஜீப்ரா தொடர்பை ஏற்படுத்திக் கொள்ள முடியும்.

{b[m²b⁶ + (3n²  - m²) + 6mn)]³ + [m² b⁶ + (3n²  - m²) – 6n² – 6mnb³]³ = {b[m²b⁶ + (3n²  - m²) - 6mn)]³ + [m² b⁶ + (3n²  - m²) – 6n²  + 6mnb³]³

சார்பிலா மாறிகளுக்கு விருப்பம்போல மதிப்புக்களைக் கொடுத்து  எண் தொடர்புகளைப் பெறலாம் .

                 m           n             b                                       [ a,b,c = d]³

                        1            2             2               [45,126,147=174]³  à [ 15,42,49=58]³

                1            3             2               [108,144,180= 216]³ à [3.4.5=6]³

                2            3             2               [63,486,,513=630]³  à [ 7,54,57 = 70]³

               `1           4              2               [174,177,207= 270]³ à [ 58,59,69 = 90]³

                       2            4              2               [180,504,588= 696]³  à [ 15,42,40 = 58]³

                      3            4              2                [57,1086,1095= 1374]³  à [19,362,365= 458]³

 

இதிலுள்ள இரண்டாவது கூறை சுழியாக்கிக் கொண்டால்  m² b⁶ = 3n² + m² + 6mnb³

இதை ஒரு இருபடிச் சமன்பாடாகக் கொண்டு  b³ ஐ  தீர்வு செய்தால் b³ = (3n/m) ± (1/m) √ (12 n²  + m²)^.. b கூறுபடா எண்ணாகவும் , சிக்கலெண்ணாகவும் இருப்பதால், ₃R³₁   வகைச் சமன்பாட்டை  முழு எண்களாலான₂R³₁  வகைச் சமன்பாடாக மாற்ற முடியாது  என்பது உண்மைக்கு மற்றொரு நிரூபணமாக இருக்கின்றது.

   

அல்ஜீப்ராவைப் பயன்படுத்தி ₂R⁴₂  வகைக்கான பொதுத் தொடர்புகளை விருப்பம்போல பல விதமாக அமைத்துக் கொள்ளலாம்.சமனின் அடிப்படையில் , தொடர்பிலுள்ள சார்பிலா மாறிகளுக்கிடையிலான தொடர்புகளை ஏற்படுத்திக்கொண்டு எண் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம்

எடுத்துக்காட்டாக,  (x - a )³  + ( x + a )³  = (x  - a + pn)³  + (x + a – qn)³ என்ற தொடர்பைக் கருதலாம்.p க்கும்  q க்கும் சில அனுகூலமான மதிப்புக்களையும்  n க்கு நிபந்தனைக்குட்டபட்ட மதிப்புக்களையும்  கொடுக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, p = 9 , q = 1,  என்ற நிலையில்  

12nx² – [30 na – 123n²]x  + [ 12na²  -120n²a + 364 n³ ]  =  0

n = 3  எனக்கொண்டு x,a ன் மதிப்புக்களைத் தீர்வு செய்தால்

x = [(30a – 369) ±  3 √ 36a² -540a – 2343]/24

a = [45 ± √ [4368 + S² ]/6

இதில்  S² = 36 a² – 540a – 2343

n  = 3 க்கு  சில எளிய தீர்வுகளை S க்கு சில  அனுகூலமான மதிப்புக்களால் பெறமுடியும்

                         S          a                      x             [a.b.c =d]³

                                  11         56/3                       28/3           [28,53,75=84]³

                                                         79/12        [145,179,267 = 303]³

                                 31       59/3                16/3           [ 38,43,66=75]³

                                                 -14/5                     157/12       [79.245,357 = 393]³

                                64       137/6              127/6         [5.76,123=132]³

                      71        71/3               16/3          [26,55,78=87]³

                                                 -26/3               277/12      [7,317,,525=561]³

n -ன் உயர் மதிப்புகளுக்கான எண்தொடர்புகள்  சுருங்கி n  = 3 க்குரிய  எண் தொடர்புகளாகிவிடுகின்றன.

எந்தவொரு பொதுத் தொடர்பையும் நிபந்தனைக்கு உட்படுத்தி அதிலுள்ள ஏதாவதொரு உறுப்பைச் சுழியாக்கிக் கொள்ளலாம் . ஆனால் அப்படிச்  செய்யும் போது மடி மூல எண்கள் முழு எண்களாக இருப்பதில்லை  என்ற தேற்றத்தை  இந்த பொதுத் தொடர்பும்  விளக்குகின்றது . x = a  என்ற நிலையில்  தொடர்பிலுள்ள (x-a)  என்ற உறுப்பு சுழியாகி விடுகின்றது.  x = a = (30a -369) ± 3 √ ( 36a²  - 540a  - 2343) என்பதால்  2a² - 3a – 1092m= 0 . இது x = a = [ ±3 + √ 8745]/4 என்ற தீர்வையும் 27³  + [( -3 + √ 8745)/2]³  = [(3 + √ 8745)/2]³       என்ற எண் தொடர்பையும் தருகின்றது                

இரண்டு அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட மாறிகளின்றி  ஒரு மாறியின் வெவ்வேறு மடிகளைக் கொண்டு  ஜெரார்டின் (Gerardin) என்பார் ₂R⁴₂   வகைக்கான ஒரு பொதுத் தொடர்பை அறிந்துள்ளார்.

(a+3a²-2a³+a⁵+a⁷)⁴ + (1+a²-2a⁴-3a⁵+a⁶)⁴ =   (a-3a²-2a³+a⁵+a⁷)⁴ + (1+a²-2a⁴+3a⁵+a⁶)⁴

a=2 என்ற மதிப்புக்கு கொடுக்கும் போது ₂R⁴₂   வகைக்கு மிகச் சிறிய எண்தொடர்பைத் தருகின்றது

                                    158⁴   + 59⁴  = 134⁴  + 133⁴

இதில் முதலுறுப்பைச்  சுழியாக்கிக் கொண்டால்    a= 0 என்ற மதிப்பைத் தவிர்த்துக்கொண்டால் a -ன் மதிப்பு சுழியிலிருந்து -1  க்கு உட்பட்ட பின்ன மதிப்புக்களைப் பெற்றிருக்கின்றது . இரண்டாவது உறுப்பைச் சுழியாக்கிக் கொண்டால் a -ன் மதிப்பு சுழியிலிருந்து 1  க்கு உட்பட்ட பின்ன மதிப்புக்களைப் பெற்றிருக்கின்றது. எந்த நிலையிலும் முழு எண்களாலான எண் தொடர்பை ஏற்படுத்த முடிவதில்லை. பெர்மாட் இறுதித் தேற்றம் 714,591,416,091,389 வரையிலான உயர் மடியெண்களுக்கும் உண்மையானது என்பதை கிரண்வில் (A.Cranville) என்பார்  கணனியின் உதவியோடு நிருபித்துள்ளார்.