Sunday, October 31, 2010

creative thoughts-13

Creative thoughts-13




Natural series of even numbers


It is interesting to find the sum of even or odd numbers only in the given natural
series. The sum of the even numbers from 2 to 2n containing n even numbers
is given by

S(even) = 2+4+6+8+ …….. 2n = 2(1+2+3+4+……n)

The terms inside the bracket are in natural series up to n. Hence its sum becomes

S(even) = 2 x n(n+1)/2 = n(n+1),where n is the number of even numbers added up
which is equal to half of the last even number in the given even series. Thus the sum,
in terms of the last even number N of the series is

S(even) = (2n) x(2n +2)/4 = N(N+2)/4

Natural series of odd numbers

The sum of the odd numbers from 1 to N (=2n-1) in the natural series is given by

S(odd) = 1+3+5+7+9+….. (2n-1),where n = (N+1)/2

But S(odd) = S(natural ) – S (even),the difference between the total sum of the natural
series from 1 to (2n-1) and the series of all even numbers from 2 to (2n-2).
The sum of the natural series from 1 to (2n-1) is n(2n-1) and in terms of the last
number of the series ,it is N(N+1)/2.Similarly ,the sum of all even numbers from 2 to
2(n-1) is n(n-1) and in terms of last number N, it is [(NxN)-1]/4. Hence the sum of all
odd numbers from 1 to (2n-1) becomes,

S(odd) = n(2n-1)- n(n-1) = nxn

Thus the sum of natural series of n odd numbers from 1 is always a square number nxn.
In terms of N ,the last odd number of the series

S(odd) = [N(N+1)/2] – [(NxN)-1]/4 = (1/4)[(N+1)(N+1)]

If the natural series has a set of numbers from N(L),the smallest number to N(H),
the greatest number, its sum is given by


S = N(H)[N(H)+1]/2 – N(L)[N(l)+1]/2

   = [N(H)-N(L)][N(H)+N(L)+1]/2

In the case of both natural even series and natural odd series , it is

S= [N(H)-N(L)][N(H)+N(L)+2]/4

Series of square numbers


It is noted that the sum of squares of all odd numbers from 1 to (2n-1) in natural
series is 1/6 times the product of three successive numbers (2n-1),2n and (2n+1).e.g.,

1x1 = 1x2x3/6 = 1
1x1 + 3x3 = 3x4x5/6 = 10
1x1+3x3+5x5 = 5x6x7/6 = 35
1x1+3x3+5x5+7x7 = 7x8x9/6 = 84

for the product of any three successive numbers in natural series ,6 will
invariably be a factor. Hence with the help of Algebra, it can be shown as

S(odd square) = 1x1 +3x3+5x5 +……. (2n-1)x(2n-1)

                      = [(2n-1)2n(2n+1)]/6 = n (4nxn – 1)/3

In terms of the last number of the given natural series of square numbers, it becomes,

S(odd square) = N(N+1)(N+2)/6

Like this the sum of squares of all even numbers from 2 to 2n(=N) in the
natural series is 1/6 times the product of three successive numbers 2n,2n+1,2n+2, e.g.,

2x2 = 2x3x4/6 = 4
2x2 +4x4 = 4xx6/6 = 20
2x2 +4x4+6x6 = 6x7x8/6 = 56
and in general

S(even squares) = 2x2 + 4x4 + 6x6 + …… 2nx2n

                         = 2n(2n+1)(2n+2)/6 = (2/3) n(n+1)(2n+1)

The sum of squares of all numbers from 1 to N in the natural series
can also be expressed in a similar fashion.

S(natural squares) = S(odd squares) + S(even squares)

                            = N(N+1)(N+2)/6 + (N-1)N(N+1)/6

                            = N(N+1)(2N+1)/6

The sum is (1/6) times the product of two successive numbers N and N+1
which is multiplied with its sum (2N+1)

1x1+2x2+3x3+4x4 +…… NxN = N(N+1)(2N+1)/6

Friday, October 29, 2010

vanna vanna ennangal

. மன அழுத்தத்திற்கு மருந்து மனமே







மன அழுத்தம் வரும் பின்னே

பிரச்சினைகள் வரும் முன்னே

இப் புதுமொழி தரும் உண்மைகள்

எல்லோரும் பெறும் நன்மைகள்



பிரச்சினைகள் பல வந்துவிட்டால்

மனமே நமக்குத் தொல்லை

பிரச்சினைகள் ஏதும் இல்லாவிட்டால்

மனவழுத்தம் என்றும் இல்லை



பிரச்சினைகளின் மூலமும் அவரே

தேடும் தீர்வும் அவரே

கேள்விக்கு விடை உள்ளே இருக்க

வெளியே தேடுவதில் பயனில்லை



வாழ்க்கையைப் புரிந்து கொண்டால்

வரும் பிரச்சினையின் கடுமை குறையுமே

ஆசைகளை விட்டு விட்டால்

அதன் அளவில் பாதி மறையுமே



பிரச்சினைகளே ஒரு பாடம் என்றால்

அதைப் படிக்காமல் விடாதே

பழகினால் அதுகூட உனக்கு

நன்மை தரும் நண்பனே



பிரச்சனைகளை உறுதியோடு சந்தி

பின்னர் உறவாடி சிந்தி

தீயவன் நல்லவனாக மாறிவிட்டால்

தீமைகள் தீண்டுவதே இல்லை

Thursday, October 28, 2010

சாமுவேல் ஜான்சன்


உலகில் உள்ள ஒவ்வொரு மனிதனும் மறக்க முடியாத ,
மறக்கக் கூடாத ஒரு மனிதன் என்று சொன்னால் அது சாமுவேல் ஜான்சன் தான். இங்கிலாந்து நாட்டில் 1709 - 1784 ல் வாழ்ந்த
ஓர் எழுத்தாளர், இலக்கியவாதி .

இவருடைய நெடிய உயரத்தையும், கனத்த உருவத்தையும்
முதன் முதலாகப் பார்ப்பவர்கள் அவரைப் பற்றித் தவறாகவே நினைப்பார்கள் .ஜான்சன் சிறுவனாக இருக்கும் போதே
அவருடைய கெட்டிக்காரத்தனம் வெளிப்பட்டுத் தோன்றியது.
படிப்பில் இவர்தான் வகுப்பில் நம்பர் ஒன்.
எவர் தனது படிப்பை மக்களுக்குப் பயன்படுமாறு வெளிப்படுத்த வாய்ப்புகளைத் தேடிக் கொண்டிருக்கிறார்களோ அவர்களே
உலகில் சிறந்தவர்களாகிறார்கள்.அதற்கு ஒரு நல்ல
உதாரணம் சாமுவேல் ஜான்சன்.நல்ல வாய்ப்பு கிடைக்கவில்லை என்பதற்காக நேரத்தை வீணாக்கி விடவில்லை ,
எல்லா வாய்ப்புகளையும் பயன்படுத்திக்கொண்டார் .

அவருடைய தந்தை ஒரு புத்தக விற்பனையாளர் . போதிய வருமானமின்றி வறுமையில் வாடிய குடும்பத்தின் துயரைப் போக்க புத்தகங்களை 'பைண்டிங்' செய்து சம்பாதித்து
தந்தைக்கு உதவியாய் இருந்தார் . அப்போது நிறைய பழைய புத்தகங்களைப் படிக்கும் வாய்ப்பு அவர்க்குக் கிட்டியது .
அது அவருடைய ஆங்கில அறிவை வளர்க்க பேருதவியாய்
இருந்தது . சிலர் பட்டம் பெற்ற பின் தங்கள் திறமைகளை
வெளிப்படுத்தி தான் அந்தப் பட்டத்திற்கு தகுதியானவன்
என்று உறுதி செய்வார்கள் . வேறு சிலர் தங்கள்
புலமையைக் காட்டிய பின்னர் அதற்கு மரியாதையாக
பட்டங்கள் தானாக வந்து சேரும். இதில் ஜான்சன் இரண்டாம்
வகை.9 ஆண்டுகள் கடிய உழைப்பிற்கு பின் 1755 ல் முதன்
முதலாக ஆங்கில அகராதியை இவர் வெளியிட்டார் . அகராதியை வெளியிடுவதற்கு முன்னர் இவர் ஒரு இளநிலைப்
பட்டதாரி .வெளியிட்ட பின்னர் ஆக்ஸ்போர்டு பல்கலைக்கழகம்
இவருக்கு முதுநிலைப் பட்டமும், கௌரவ டாக்டர் பட்டமும்
கொடுத்தது. .


********************

சந்திப்போமா ? எப்போது ,எப்படி ?




ஒரு நீர் தேக்கத்தில் ஒத்த இரு படகுகள் அருகருகே
இருக்கின்றன . அப் படகில் ஒன்றில் ஓர் ஆணும் மற்றொன்றில் காதலியான பெண்ணும் ஜாலியாகப் பயணம் செய்துகொண்டிருக்கின்றனர் .காதலர்கள் ஒருவரை
ஒருவர் பார்த்துக்கொண்டு ஒரு கயிற்றின் இருமுனையை
விறைப்பாகப் பிடித்துக்கொண்டு ஒருவர் மற்றவரை அருகே வர இழுக்கிறார்கள் .காதலன் காதலியை அல்லது
காதலி காதலனை அல்லது இருவரும் ஒருவரை ஒருவர்
கயிற்றால் இழுத்தால் என்ன நிகழும் ?
                                        *****************
இரு படகுகளும் காதலர்களால் தனித் தனியே
இழுக்கப்பட்டாலும் அல்லது இருவரும் சேர்ந்து
இழுத்தாலும் எப்போதும் ஒரு குறிப்பிட்ட இடத்திலேயே
சந்திக்கின்றன .அவ்விடம் அவ்விரு படகுகளின்
(காதலர்களுடன் கூடிய) தொகு
நிறை மையமாகும் (centre of mass ) .ஒருவர் மற்றவர் படகை
இழுக்க அதே விசையால் தன் படகை முன்னுக்குத்
தள்ளுகிறார் .இயக்க விசை, அமைப்பில் ஓர் அகவிசையாக
இருப்பதால் அமைப்பின் உந்தத்தில் எந்த மாற்றத்தையும் ஏற்படுத்தாது .நிறை மையத்தை நோக்கி இரு படகுகளும்
சம உந்ததில் சென்றால் தான் அமைப்பின்
தொடக்க நிலை உந்தமான சுழியை ஈடு செய்ய முடியும் .
எனினும் இழுவிசை வேறுபாடுகள் காரணமாக ,தனித்து இழுக்கும் போதும் ,இணைந்து இழுக்கும் போதும் நிறை மையத்தைச் சந்திப்பதற்காகப் படகுகள் எடுத்துக் கொள்ளும்
காலம் மாறுபட்டதாக இருக்கும் .

Monday, October 25, 2010

vinveliyil ulla-5

வட்டார விண்மீன் கூட்டங்கள்


வட்டார விண்மீன் கூட்டங்கள் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வெளியில் அருகருகே இருக்கும்

விண்மீன்கள் இல்லை .அவை குறிப்பிட்ட வரம்பிற்கு உட்பட்ட திசைகளில் வெவ்வேறு தொலைவுகளில்

இருக்கும் விண்மீன்களாகும்.. நெடுந்தொலைவில் இருப்பதால்

அவற்றின் இடைத்தொலைவை அறியமுடிவதில்லை .வானக் காட்சி, ஓர் ஒளிப்படம் போல இரு பரிமாண வெளியில்

தோன்றுவதால் ,வெவ்வேறு தொலைவுகளில் உள்ள எல்லா விண்மீன்களும் சம தொலைவில் இருப்பது

போல மாயத் தோற்றம் தருகின்றன . பரந்த விண்வெளியை நாம் முழுமையாக ,முப்பரிமாண வெளியில் காண முடியாததால், இப்படி ஏற்படும் தோற்றப் பிழையைத்

தவிர்த்துக் கொள்ள முடியாதிருக்கிறது.



தொலைவு அதிகரிக்க உருவம் சிறுத்துவிடும். ஏறக்குறைய 150 மில்லியன் (15 கோடி ) கி.மீ

தொலைவிலுள்ள 0.7 மில்லியன் கி.மீ ஆரமுள்ள நமது சூரியனே

ஒரு சிறிய நெருப்புக் கோளம் போலக் காட்சியளிக்கிறது

இதைவிடப் பல மடங்கு தொலைவிலுள்ள சூரியன் போன்ற, சூரியனை விடப் பெரிய விண்மீன்கள்

மட்டுமின்றி, ஆயிரம் கோடி விண்மீன்கள் அடங்கிய அண்டங்கள் கூட ஒரு சிறிய ஒளிப்புள்ளியாகத் தோன்றுவதால், விண்மீன்களின் வட்டாரங்களில் இந்த அண்டங்களும் இடம்பெறுகின்றன. இது தவிர கொத்துக் கொத்தாய் அண்டங்களும் (Cluster )

பனி மூட்டம் போன்ற நெபுலாகளும் அங்குமிங்குமாய் நிறைந்துள்ளன .

பூமியில் இருந்துகொண்டு இரவில் வானத்தைப் பார்க்கும் போது விண்வெளியில் நீந்தும் விண்மீன்கள் எல்லாம் எப்போதும் ஒரே இடத்தில் இருப்பது போலத் தோன்றுவதில்லை. பூமி ஒரு சாய்வான அச்சு பற்றித் தற்சுழலுவதால் ,இந்த விண்மீன்கள் எல்லாம்

சூரியனைப் போல ,கிழக்கிலிருந்து மேற்காக ஊர்ந்து செல்வது போல் தோன்றுகின்றன .அந்த அச்சும் அசைவாட்டமாய் வட்டமிடுவதால்

பருவ காலங்களுக்கு ஏற்ப இந்த விண்மீன் கூட்டங்கள் மாறி மாறி காட்சிதருகின்றன. ஓராண் டுகால வட்டச் சுற்றுமுறையில்

பருவகாலத்திற்கு ஏற்ப மாறி மாறித் தோன்றும் விண்மீன் கூட்டங்களைப் பற்றி பழங் காலத்திய தன்னார்வலர்கள் முதன்முதலாக இனமறிந்தார்கள்

இன்றைய விண்மீன் கூட்டம் பற்றிய வரைபட வானவியல் உண்மையில் இவர்கள் திரட்டித் தந்த அடிப்படை விவரங்களிளிருந்தே தொடங்கி இருக்கிறது. இதை வானவியலின் முதல் பாடம் என்று கூடக் கூறலாம். வானவியலில் ஈடுபாடு கொள்வோர் முதலில் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது ஒரு விண்மீன் கூட்டத்தின் அமைவிடத்தை அறிந்து கொள்வதாகும்.

வானத்தில் தோன்றும் இந்த வட்டார விண்மீன் கூட்ட ங்களின் சார்பு இருப்பிடம் பற்றியும் ,தொடுவானத் தளத்தோடு அவை ஏற்படுத்தும் கோணம்

பற்றியும் ஓரளவு அறிந்தவர் ,வழியேதும் புரியாத திக்குத் தெரியாத காட்டில் அல்லது இருண்ட நடுக்கடலில் தத்தளிக்கும் போது இதன் மூலம் அவர் தன இருப்பிடத்த்தையும், காலத்தையும் மட்டுமின்றி செல்லும் திக்கையும் அறிந்து கொள்ள முடியும். எப்பக்கம் சென்றால்,பாதுகாப்பான பகுதிக்குச் சென்றடையலாம் என்பதையும்

கூட அவரால் தீர்மானிக்கமுடிகிறது. இது சூரியன் தொடுவானத் தளத்தோடு ஏற்படுத்தும் கோணத்தைக் கொண்டு நேரத்தையும் ,திசையையும் குறிப்பிடுவதைப் போல, தரையில் செங்குத்தாய் நிறுத்தி வைக்கப்பட்ட ஒரு குச்சியின் நிழல்

காலையில் மேற்குப் பக்கமாகவும், மாலையில் கிழக்குப் பக்கமாகவும் விழும். அந்த நிழலின் உயரத்தைக் கொண்டே காலத்தையும் மதிப்பிடமுடியும் .

அனுபவப்பட்டவர்களுக்கு இந்த குச்சி தேவையே இல்லை.

இந்த அனுபவமே பழங் காலத்திய மக்களிடையே இராக் கால வானத்தை உற்றுப் பார்க்கும் பழக்கத்தை வெகுவாகத் தூண்டியிருக்கிறது.

Wednesday, October 20, 2010

Vanna vanna ennangal-22



மனதிற்குள் ஒரு மிருகம்  

மனிதனொரு மிருகம் என்றல்

மனமொரு குரங்கு

கணக்குப் போடும் அவனைப் புலி என்றனர்
சூழ்ச்சி செய்யும் அவனை நரி என்றனர்
வீரமிக்க அவனைச் சிங்கம் என்றனர்
பாரம் சுமக்கும் அவனைக் கழுதை என்றனர்
தூரம் ஓடும் அவனைக் குதிரை என்றனர்
அப்பாவியான அவனைப் பசு என்றனர்
சிதறிச் சாப்பிடும் அவனைப் பன்றி என்றனர்
கொறித்துண்ணும் அவனை எலி என்றனர்
நன்றி உள்ள அவனை நாய் என்றனர்
மானமுள்ள அவனைக் கவரி மான் என்றனர்
முரடனை முட்டும் காளை என்றனர்
குள்ளனை தத்தும் தவளை என்றனர்
சுறுசுறுப்பான அவனைத் தேனீ என்றனர்
உன்னிப்பாகக் கவனிக்கும் அவனைக் கழுகு என்றனர்
சந்தடி இன்றி நடக்கும் அவனைப் பூனை என்றனர்

குண்டான அவளை யானை என்றனர்
குள்ளமான அவளை சிம்பான்சி என்றனர்
மெதுவாக நடக்கும் அவளை ஆமை என்றனர்
குண்டான அவளை யானை என்றனர்
அழகாகப் பாடும் அவளைக் குயில் என்றனர்
ஒயிலாக நடக்கும் அவளை மயில் என்றனர்
மாற்றிச் சொல்லும் அவளைப் பச்சோந்தி என்றனர்
போலிக்கண்ணீர் வடிக்கும் அவளை முதலை என்றனர்
கருப்பாய் இருக்கும் அவளைக் காக்கை என்றனர்
உயரமாய் இருக்கும் அவளைக் கொக்கு என்றனர்
நளினமாய் பேசும் அவளைக் கிளி என்றனர்
அன்பு காட்டும் அவளை அன்றில் என்றனர்
மூக்கு நீண்ட அவளை மரக்கொத்தி என்றனர்
மெல்ல நடக்கும் அழகுப் பெண்ணை அன்னம் என்றனர்
பறந்து செல்லும் அவளைப் பட்டாம் பூச்சி என்றனர்

மனிதனுக்குள் ஒரு மிருகம் இருக்கின்றது
ஒவ்வொரு மனிதனுக்குள் ஒவ்வொரு மிருகம்
ஆனால்
எல்லோருக்குள்ளும் ஒரு மிருகம் -அது

குரங்கு

மனமொரு குரங்கு -மனித
மனமொரு குரங்கு
மனதின் தாகம் மக்கள் மத்தியில்

குரங்குகள் பலவிதம்
ஒவ்வொன்றும் ஒரு விதம்

கருங் குரங்கு, செங் குரங்கு,என நிறத்தால்
கெட்ட குரங்கு , நல்ல குரங்கு என பண்பால்
வத்தக் குரங்கு ,குண்டுக் குரங்கு என உருவத்தால்
வன் குரங்கு வாலில்லாக் குரங்கு என செயலால்
சுட்டிக் குரங்கு கெட்டிக் குரங்கு என குறும்பால்
சின்னக் குரங்கு கிழட்டுக் குரங்கு என வயதால்

குரங்குகள் பலவிதம்
ஒவ்வொன்றும் ஒரு விதம்

மனமொரு குரங்கு -மனித
மனமொரு குரங்கு

vanna vanna ennangal-21

எல்லோரும் இந்நாட்டு மன்னர்கள்
எல்லோரும் அவதாரக் கடவுள்கள்


குழந்தையாய்த் தவழ்ந்த போது
என்னைப் பற்றி
ஏதும் தெரியாதிருந்தேன் .

தெரியும் வயதை எட்டிய போது
என்னைப் பற்றி
சரியாய் அறியாதிருந்தேன்

பார்த்துக் கற்றும் படித்துக் கற்றும்
என்னைப் பற்றி
முழுதாய்த் தெளியாதிருந்தேன்

வளர்த்து கற்றும் வாழ்ந்து கற்றும்
நான் மெத்தப் படித்த
மேதாவி ஆனேன்

உலகம் தெரிந்தது உள்ளம் மறைந்தது
மனம் இன்னும்
அறிவிலியாகவே இருந்தது

வாழ்ந்து ஓய்ந்து உலகை விட்டுப்
பிரியும் போது
ஒன்றைப் புரிந்து கொண்டேன்

கடவுள் என்பது
காணும் வெளியில் இல்லை
ஒருவரின்
உள்மனமே கடவுளின்
உருவமில்லா அவதாரமென்று .

பிறக்கும் போதும்
இறக்கும் போதும்
கடவுளாய் இருக்கிறோம்
வாழும் போதும் கடவுளாய்
வாழ்ந்துவிட்டால்
உலகில் இனியொரு துயர்வர
வழியில்லை என்று .

Tuesday, October 19, 2010

Arika ariviyal-12

எடையில் மாற்றம் இருக்குமா ?


குறி முள்ளினால் எடை காட்டும் சுருள் வில் தராசுத்
தட்டில் W எடையுடைய நீருடன் கூடிய ஒரு பீக்கர் வைக்கப்பட்டுள்ளது .ஒரு நூலின் நுனியில் ஒரு
கல்லைக் கட்டி அதை அப் பீக்கரில் உள்ள நீரில்
பீக்கரின் சுவர்களைத்தொடாத வண்ணம் முழுதும்
அமிழ்த்திருக்குமாறு தொக்கவிடப் படுகின்றது .
இப்பொழுது எடை காட்டும் தராசில் குறி முள்ளில்
விலக்கம் இருக்குமா ? அதாவது எடை கூடுமா
அல்லது குறையுமா அல்லது மாற்றம் இன்றி இருக்குமா ?.
                                        *************
பீக்கரைத் தொடாமல் கல் தொங்குவதால் தராசின்
குறிமுள்ளில் எந்தவித விலக்கமும் இருக்காது என்று
முடிவு செய்தால் அது தவறாகும் . நீருடன் கூடிய
பீக்கருக்கு வெளியே கல் இருந்தாலும் ,இல்லை
உள்ளே இருந்தாலும் அந்த அமைப்பின் எடையில்
வேறுபாடு காணப்படுவதில்லை .நீரில் அமிழதிருக்கும்
கல் பெறும் எடை இழப்பு என்பது ஒரு தோற்ற
அளவீடுதான் .அதனால் தான் மிக எளிதாக எடை
இழப்பை மீட்டுப் பெற முடிகிறது .ஆற்றல் மாறாக்
கோட்பாட்டின் படி (இங்கு நிறை மாறாக் கோட்பாடு ) ஓர்
அமைப்பின் மொத்த நிறை மாறாததாகும்.
நீருடன் கூடிய பீக்கர் மற்றும் கல்லில் எடை மாறாதிருக்க வேண்டுமானால் கல் பெறும் தோற்ற எடை இழப்பை
நீருடன் கூடிய பீக்கர் பெறவேண்டும் .எனவே
நீருடன் கூடிய பீக்கரின் எடையோடு கல்லில் எடை
இழப்பும் சேர்ந்து காட்டப்படுவதால் குறிமுள் அதிக
அளவு காட்டும் எனலாம் .

 நீருக்குள் விரலை வைத்தால்

தராசின் ஒரு தட்டில் நீருடன் கூடிய பீக்கரும் ,மறுதட்டில்
அதற்குச் சமமான எடையும் வைக்கப்பட்டுள்ளது .பீக்கரின்
சுவரைத் தொடாமல் நீருக்குள் கையின் ஒரு விரலை
வைத்தால் தராசின் சமநிலை பாதிக்கப்படுமா ? தராசின்
குறி முள் எப்பக்கம் விலகும்?
                                              ****************
 நீருக்குள் விரலைஅமிழ்த்தும்போது அதனால்
வெளியேற்றப்பட்ட நீரின் எடை அம மனிதருக்கு எடை
இழப்பாக அமைகிறது .இது நீரை அழுத்துவதால்
நீருள்ள பீக்கரின் எடை அதிகரிக்கிறது .

Sunday, October 17, 2010

Creative thoughts-12

Creativethoughts-12





We know the sum of n numbers from 1 in the natural series is n(n+1)/2

S = 1+2+3+4 +5+6+7+8+………. n = n(n+1)/2

If n is an even number, then the first and last numbers, second and the last but one
numbers of the series ……… added together each sum will be equal to (n+1).
As there are n/2 such pairs, the total sum will be (n/2)(n+1). If n is odd, we get the
same result.

Here all the number can be paired up except the central number i.e., (n+1)/2,
the number of pairs will be (n-1)/2 and the sum of each pair is (n+1) . Hence its sum will be

S = [(n-1)/2][n+1] + (n+1)/2 = n(n+1)/2

It predicts that for twice the sum of n numbers from 1 in natural series , n and (n+1)
are factors. With numerical examples,

1+2 = 3 1 x3
1+2+3 = 6 = 2 x3
1+2+3+4 = 10 = 2x5
1+2+3+4+5 = 15 = 3 x 5
1+2+3+4+5+6 = 21 = 3 x 7
1+2+3+4+5+6+7 = 28 = 4x 7

I f the number of numbers added together is even ,then its sum can be represented
as a product of two numbers (n/2)and (n+1) ,they are n and [(n+1)/2],if it is odd.

The sum of numbers in natural series from smaller number n(s) to higher number n(h)

S = n(s) + [n(s)+1] + [(n(s)+2] + ………… n(h)

n(h) = n(s) + N-1,where N is the number of numbers in the series

The sum of numbers in natural series from 1 to n(h) is [(n(h)][(n(h)+1)]/2 and the
sum of number in natural series from 1 to n(s) – 1 is [n(s)-1][n(s)]/2

The difference between these two sums gives the required sum and is given by,

S = S(h) – S(L-1) = [n(h)][(n(h)+1)/2] – [n(s)-1][n(s)]/2

=[ n(h)xn(h) + n(h) – n(s)xn(s) + n(s)]/2

{[n(h)-n(s)][n(h)+n(s)] + [n(h) + n(s)]}/2

= [n(h)+n(s)][n(h)-n(s)+1]/2

where n(h) + n(s) is the sum of the initial and final terms of the series and
 n(h)-n(s) + 1 denotes the number of terms added up in the given series.

It opens an avenue for quite a large number of mathematical puzzles. The sum
of a set of n numbers in natural series is S ,find the possible natural series with
same sum but with different number of terms. We know,

Twice of the sum = (sum of the first and last terms) x (number of terms in the series)

= [n(s) + n(h) ] N

If the twice of the sum is divisible by N-x , then there will be one or more another
solutions. For example,

S = 11+12+13+14+15+16 = 81

2S = 162 which is divisible by 6, the number of terms in the given series.
162/6 = 27 = n(s)+n(h) .It is not divisible by 5,4 but by 3.

162/3 = 54 = n(s) + n(h)

so there must be a series with three terms whose first and last terms give 54 on addition.

S = 26 + 27 + 28= 81

It is divisible by2 as well, so

S = 40+41 = 81

Thursday, October 14, 2010

Arika ariviyal-11

Frank Whittle (1907 - 1996 )





பிராங்க் விட்டல் சிறுவனான இருந்தபொழுதே தான் ஒரு
பையிலட்டாக வரவேண்டும் என விரும்பினார் .பல புதிய
பொருட்களைக் கண்டுபிடிக்கும் ஆர்வம் கொண்ட
இவருடைய தந்தை வெகு இயல்பாக இவருக்கு ஒரு
சரியான வழிகாட்டியாக அமைந்தார் .பள்ளியில்
கற்றுக்கொண்டதைவிட தன் தந்தையிடம் பெற்ற பயிற்சியே
அவருடைய தனித் திறமையை வெளிக்காட்ட உதவியாக
இருந்தது .இளம் வயதில் அவர் தன் தந்தைக்குஒரு
உண்மையான மெக்கானிக்காக செயல்பட்டதால் ,தொழில்
நுட்ப அறிவை அனுபவ ரீதியாகப் பெற்றார்.

ஒரு முறை கல்லூரியில் ' விமானங்களின் வடிவங்களில்
எதிர்காலப் புதுமைகள் ' என்ற தலைப்பில் படிக்குக் எல்லா மாணவர்களையும்கட்டுரை வரையச் சொன்னார்கள்.
அப்போது சுழலி ( propeller ) இழுத்துச்செல்லும் விமானங்களே
அதிகம் இருந்தன . எனவே பெரும்பாலானமாணவர்கள்
சுழலியின் இயக்கத்தை அதிகரிப்பது பற்றியே
விவரித்திருந்தார்கள் .ஜெட் விமானங்கள் பற்றி
முதன்முதலாக பிராங்க் விட்டல் தன் கட்டுரை வாயிலாகத்
தெரிவித்தார் . என்றாலும் இவருடிய கருத்தை ஆசிரியர்கள்
அப்போது ஏற்றுக் கொள்ளவில்லை . மனம் தளராத
பிராங்க் விட்டல் பல இடையூறுகளுக்குப் பின்னர் 1937 ல்
தனது முதல் ஜெட் விமானத்தை சோதனை ஓட்டம் விட்டார் .
1941 ல் குறைபாடுகளற்ற ஜெட் விமானம் இவரால்
உருவாக்கப்பெற்றது .

ஒரே சிந்தனை ஒரே முடிவு அதுவே இவரது வெற்றிக்கு
காரணமாக இருந்தது . நாமும் அப்படி விடா முயற்சியுடன்
செயல் பட்டால் வெற்றியைத் தேடி நாம் போகவேண்டாம், அந்த வெற்றியே நம்மைத் தேடி வரும்



ஒரு பேருந்து ஓரிடத்தில் நின்று விட்டது .இறங்கி வண்டியைத் தள்ளுமாறு பயணிகளை ஓட்டுனர் கேட்டுக் கொண்டார் .
இரவு நேரம் என்பதால் பயணிகள் யாரும் இறங்கவில்லை .
வண்டிக்குள் இருந்தே வண்டியை முன்பக்கமாகத்
தள்ளினர் .வண்டி நகராது என்பது நம் எல்லோருக்கும் தெரியும் . ஏனெனில் எவ்வளவு விசையுடன் வண்டியைக் கையால்
முன்னுக்குத் தள்ளுகின்றாரோ அதே விசையால் காலால்
பின்னுக்குத் தள்ளுகிறார் .இதில் வண்டியின் மீது
செயல்படும் விசை சுழி யாகின்றது .இது எந்த
உந்தமாற்றத்தையும் தோற்றுவிக்காது .

ஓர் ஏரியில் ஒரு பாய்மரப்படகு ஓய்வு நிலையில்
இருக்கின்றது .பாய்மரம் படகின் மையக் கோட்டில் செங்குத்தாக இருப்பதாகக் கொள்வோம் .பாய்மரத்திற்கு முன்னால்
ஒரு மின் விசிறி படகில் பொருத்தப் படுகின்றது .மின்
விசிறி மூலம் காற்றை பாய்மரம் நோக்கிச் செலுத்தினால்
படகு நகருமா ?
                                                  ******************



குறிப்பிட்ட சூழலில் படகை இயக்க முடியும் . பாய்மரம்
நோக்கிச் செல்லும் காற்று துணி விரிப்பில் பட்டு
மீளப்பெறவேண்டும் . அப்போது மட்டுமே படகு இயங்கும்.
ஆனால் படகுடன் பொருத்தப்பட்ட மின் விசிறி-பாய்மரத்துணி
ஒரு திறவலான அமைப்பாக உள்ளது .அதனால் படகின் இயக்கத் திசையில் மட்டுமே உந்த மாற்றம் ஏற்படும் என்று கூறமுடியாது .
ஒரு காற்றுமூலக்கூறு விசிறிக்கு முன்னால் ஓய்வாக
இருப்பதாகக் கொள்வோம் .இது மின் விசிறியின் இறக்கையால்
முன்னுக்குத் தள்ளப்பட காற்று P என்ற உந்தத்தைப் பெறும்.
அதே உந்தத்தைப் படகு (-P ) மின் விசிறி மூலம் எதிர்
திசையில் பெறும். முன்னுக்குத் தள்ளப்பட்ட காற்று
மூலக்கூறு பாய்மரத் துணியில் விழுந்து மீட்சி மோதலால்
மீண்டால் அதன் உந்த மாற்றம் எதிர்திசையில் அதன்
உந்தத்தைப் போல இரு மடங்காகும் (-2p ) இந்த உந்தமாற்றம்
படகுக்கு பரிமாற்றம் செய்யப்படுவதால் ,அது இயங்கு திசையில்
அதே உந்தமாற்றத்தைப் (2p ) பெறும் . எனவே படகு பெறும்
மொத்த உந்தம் 2p - p = p இதனால் படகு முன்னுக்கு நகரும் .ஆனால் காற்று மூலக்கூறு பாய்மரத் துணியில் பட்டு மீளாவிட்டால் படகு
பெறும் மொத்த உந்தம் சுழியாகி விடும் .

Wednesday, October 13, 2010

vinveliyil ulaa -4

வட்டார விண்மீன் கூட்டங்கள்





வைரங்களை விண்வெளி எங்கும் அள்ளித் தெளித்தார் போல
இரவில் வானம் விண்மீன்களால் மினுமினுப்பதைப் பார்த்து மயங்காதவர்கள் யாருமில்லை. எல்லா வயதினருக்கும்
ஏற்றவாறு இயற்கை நித்தம் ஒளிபரப்பும் முழு இரவு நேரக்
காட்சி ! ஒவ்வொரு நாள் இரவிலும் வேறுபாடு உணரமுடியாத
ஒரே மாதிரியான காட்சிதான் என்றாலும் சிறிதும் அலுப்புத்
தட்டாத ஒரு காட்சி. இதில் நிலவும் வந்து தோன்றிவிட்டால் .
வெட்கமின்றி அத்துமீறிச் செல்லும் கற்பனைகளுக்கு
ஒரு வரம்பே இல்லை.

காலமெல்லாம் களிப்பூட்டிய இந்த வானம் இன்றைக்குத்
தனிப் பெரும் அறிவியலாக வளர்ந்துள்ளது. ஒரு பக்கம்
இயற்பியல் கொள்கைகள் - பேரண்டத்தின் எல்லையையும்
அண்டம் மற்றும் அண்டத்திலுள்ள விண்மீன்களின் இயக்கங்களையும் .விண்மீன்களின் வளர்ச்சிப் படிகளையும்
அலசி ஆராய்கின்றன. மறு பக்கம் அதற்கு ஆதாரமான
சோதனை முறைகள் - விண்ணியல் தொலைநோக்கிகளின் வளர்ச்சி ,விண்மீன்களின் இருப்பிடம் மற்றும் அவற்றின்
இயற்பியல் தன்மைகளை அறிதல், புதிய வசிப்பிடங்களைத்
தேடி ,பூமி தவிர்த்த பிறசூரியக் கோள்களை எட்ட விண்வெளிப்
பயணம் போன்றவை விரிவாக வளர்ந்து வருகின்றன
ஒரு சமயம் திக்குத் தெரியாத நடுக் காட்டில் தத்தளித்துக் கொண்டிருக்கும்போது,துருவ விண்மீன் அவர்களுக்கு
வடக்குத் திசையைக் காடும் வழிகாட்டியாக விளங்கியது .
விண்ணில் இருந்து கொண்டு பூமியில் சரியாக வழிகாட்டும்
இந்த வழிகாட்டியின் பயனைத் தெரிந்து கொண்ட பின்னர்,
விண்மீன்களைப் பற்றி மேலும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்
என்ற ஆர்வம் மக்களைத் தொற்றிக் கொண்டது. பழங்காலத்தில்
இதில் கடல் வாணிகம் மேற்கொண்ட பாபிலோனியர்கள்,
கிரேக்கர்கள் இந்தியர்கள், சீனர்கள் மற்றும் அரேபியர்கள்
தனித்த ஈடுபாடு கட்டினார்கள். ஆனால் மற்றவர்களைப்
போலன்றி, இந்தியர்கள் .விண்மீன்களைப் பற்றிய
விவரங்களை அறிந்து கொள்ளவோ அல்லது விண்மீன்
கூட்டங்களைப் பற்றிய வரைபடங்கள் தயாரிக்கவோ ஆர்வம் காட்டவில்லை. மாறாகக் கதிர்வீதியில் (eccliptic )
உலா வருவது போலத் தோன்றும் சூரியன் மற்றும் நிலவின்
சார்பு இயக்கங்களை மிகத் துல்லியமாக அறியும் முயற்சியில் ஈடுபட்டனர் .அப்போது கதிவீதியில் ஒட்டியிருக்கும் சில
குறிப்பிட்ட விண்மீன் கூடங்களை மட்டும் ஓரளவு தெரிந்து
கொள்ள முயன்றனர் .இதனால் அவர்கள் நூற்றாண்டு கால காலண்டர் ,சந்திர-சூரிய கிரகணங்கள் ஏற்படும் காலங்கள்
இவற்றை உருவாகினார்கள் .இதற்காக கதிர்வீதியை 30 டிகிரி கோணத்துடன் 12 சம பகுதிகளாகப் பிரித்தனர் .ஒவ்வொரு
பகுதியையும் இராசி மண்டலம் என அழைத்தனர் .
சூரியன் கதி வீதியில் வளம் வருவது போலத் தோன்றும்
போது,30 நாட்கள் வீதம் ஒவ்வொரு இரசிமடலத்தையும் கடந்து செல்கிறது .இதே கதிர்வீதியை 13 டிகிரி 20 நிமிடம்
கோணத்துடன் 27 சம பகுதிகளாகப் பிரித்து அதை நட்சத்திர
மண்டலம் என்றனர் .இராசி மண்டலம் என்பது
அவ்வட்டாரத்திலுள்ள விண்மீன்களால் குறிப்பிடப்படுகிறது .
ஆனால் நட்சத்திர மண்டலம் என்பது கதிர்வீதியில் ஒரு
பகுதியை மட்டுமே குறிப்பிடுகிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட விண்மீனைக் குறிப்பிடுவதில்லை.ஆனால் பழங்காலத்தவர்கள் நிலா உலா
வரும் பாதையை எடுத்துச் சொல்வதற்கு எதுவாக
ஓரளவு தோராயமாக நட்சத்திர மண்டலங்களையும்,
அவ வட்டாரத்திலுள்ள முதன்மை விண்மீன்களால்
குறிப்பிட்டனர் .மிகச் சரியாக எல்லா சுட்டு விண்மீன்களும்
கதிர்வீதியில் அமையாததால் அதில் பல விண்மீன்கள்
கதிர்வீதியை விட்டு ஓரளவு விலகி இருந்தன .
இந்தியாவில் வானவியல் என்பது சோதிடத்தோடு தொடர்பு
படுத்தப்பட்டு வளர்ந்தது .அதனால் அது அறிவியல் சார்ந்த
வானவியலின் வளர்ச்சியை பெரிதும் மட்டுப் படுத்தியது.
சூரியன்,சந்திரன் மற்றும் சூரியக் குடும்பத்தில் பூமியை
ஒட்டியுள்ள கோள்கள் இவையெல்லாம் பூமியில் வாழும்
மனிதர்களின் எதிர்காலத்தை வரையறுப்பதாக
நம்பினார்கள். நிஜமான நிகழ் காலத்தை விட்டு விட்டு நிழலான எதிர்காலத்தை பற்றி அறிந்து கொள்ள எல்லோரும் உள்ளூர ஆர்வப்பட்டனர் என்பதால் சோதிடமும் காலத்தால்
நிலைப்பட்டது .
இன்றைக்கு வானவியல், சோதிடத்திற்கு எந்த சம்பந்தமும் இல்லாமல் வளர்ந்து கொண்டிருக்கிறது .ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கு விண்வெளி ஓர் ஆய்வுக் கூடம் ,மாணவர்களுக்கு ஒரு பல்கலைக் கழகம்
சாதாரண மக்ககளுக்கு அது ஒரு பிருமாண்டமான பொருள்காட்சி சாலை .பேரண்டத்தின் முதலும் முடிவும்,பெர்ணடத்தின் எல்லை, எண்ணற்ற அண்டங்களும் விண்மீன்களும், அவற்றின் ஓய்வற்ற
இயக்கம், விண்மீன்களின் இறப்பையும் பிறப்பையும் காட்டும் பழையன கழிதலும் ,புதியன் புகுதலும், இவற்றைப் பற்றி என்னதான்
முயன்றாலும் எட்டாத தொலைவில் இருக்கின்ற அவற்றைப் பற்றி
முழுமையாக அறிந்து கொள்ள முடியவில்லை. ஒவ்வொரு
கிலோ மீட்டர் தொலைவிலும் ஓர் அதிசயத்தை
புதைத்து வைத்திருக்கின்ற விண்வெளி நமக்கு எப்போதும் ஒரு புதிர் தான் .

Tuesday, October 12, 2010

vanna vanna ennangal-20

எண்ண எண்ண வண்ணங்கள்


வெற்றி பெற்றவர்களின் வாழ்க்கைக்கும் தோல்விகளுக்கும்
உள்ளார்ந்த ஒரு தொடர்பு இருக்கிறது .இந்த உண்மையை
அவர்களைத் தவிர மற்றவர்கள் முழுமையாக உணர்ந்து
கொள்ள முடிவதில்லை .

சாதனையாளர்களுக்கு மகிழ்ச்சி தரும் வெற்றிகளைக் காட்டிலும்
துயரூட்டிய தோல்விகளே அதிகம் கற்றுக் கொடுத்திருக்கின்றன .
வெற்றியை நோக்கிச் செல்லும் பாதையில் தோல்விகள் எல்லாம்
இலக்கை எட்ட உதவும் வழிகாட்டிகள் .சோர்ந்து உட்காராமல்
நம்பிக்கையோடு துள்ளிச் சென்றால் இன்றில்லாவிட்டாலும் ஒருநாள்
இலக்கைச் சென்றடையலாம்

 
 
மனம் ஒரு குரங்கு





 
 


மனதின் ஒப்புமைக்கு குரங்கு ஏனின்று வந்தது

மண்டையைக் குடைந்தபோது பதிலொன்று மலர்ந்தது

சிறு பிள்ளையில் நான்

சின்னச் சின்ன சேட்டை

செய்து மகிழ்ந்த போது

சித்தி திட்டினால் என்னை

சுட்டிக் குரங்கு என்று

அடுத்த வீட்டுப் பையன்

அதிரசம் சாப்பிட்ட போது

ஆவலில் தட்டிப் பறிக்க

அவன் திட்டினான் என்னை

வன் குரங்கு என்று

பள்ளி செல்லும் வழியில்

தோப்பைத் தாண்டிக் குதித்து

மாங்காய் பறித்த போது

காவலன் திட்டினான் என்னை

வாலில்லாக் குரங்கு என்று

வகுப்பில் கணக்கைத்

தப்புத் தப்பாய் போட்ட போது

நண்பன் திட்டினான் என்னை

மக்குக் குரங்கு என்று

விடலைப் பருவம் எட்டிவிட்டேன்

விடவில்லை இந்த குரங்குப் பட்டம்

பரிணாம வளர்ச்சியில் உருவம் மாறிப்போனாலும்

பாரம்பரிய மனமின்னும் மாறவில்லை போலும்

மரம் விட்டு மரம் தாவுவதைப் போல

மனம் கண்டம் விட்டு கண்டம் தாவுது

கடலலை கரையைத் தழுவுவதைப் போல

ஆசைகள் நெஞ்சில் அலை மோதுது

நேசங்கள் இடம் மாறுது

நெடிலாகிய குரங்கு மனிதனாக உயர்ந்தது

குறிலான மனம் இன்னும் குரங்காகவே நின்றது

மனம் ஒரு குரங்கு என்றல் அது

ஆண் குரங்கா பெண் குரங்கா

என்ற எண்ணம் எட்டிப்பாக்கும்

மனம் ஒரு குரங்கு என்று

சொன்னாரிடம் நான் கேட்டேன்

அவர் சொன்னார் இதை

ஆணிடம் இருப்பது பெண் குரங்கு

பெண்ணிடம் இருப்பது ஆண் குரங்கு

அதனால் தான் கண்டார்கள்

ஆணுக்குள் ஒரு பெண்ணை

பெண்ணுக்குள் ஒரு ஆணை

Eluthatha Kaditham-14

எழுதாத கடிதம்





மகா கனம் பொருந்திய உச்ச நீதிமன்ற நீதிபதி அவர்களே
நாளிதழ்களில் இப்பொழுதெல்லாம் கொலை கொள்ளை ,
கற்பழிப்பு போன்ற குற்றங்களைப் பற்றியே அதிகச்
செய்திகள் வெளி வருகின்றன .இதைச் செய்யாமல்
இருப்பது மக்கள் வாழ்க்கை முறை .செய்துவிட்டால்
அதைக் கட்டுப்படுத்துவது அரசியல் மற்றும் நீதி
நிர்வாகத்தின் கடமை .எல்லோரும் கூட்டாக இணைந்து
வாழ்வது சமுதாய வாழ்க்கை .அப்படிப்பட்ட வாழ்க்கை
என்றும் இனிதே தொடர இந்தச் சமுதாயம் உங்களைத்
தேர்வு செய்து அரசையும் ,நீதி மன்றத்தையும்
ஒப்படைத்துள்ளது .

இலஞ்சம் எங்கும் தலைவிரித்து ஆடுகிறது என்பதற்காக
அத் தவற்றை அனுமதிக்கலாமா? சாதாரண மங்கள் மட்டுமே
இத் தவற்றைச் செய்வார்களேயானால் இதை அரசு
மற்றும் நீதி மன்ற அமைப்புகள் எளிதில்
கட்டுப்படுத்தியிருக்கும். ஆனால் கொள்ளை நோய்
போல அலுவலர்களையும் உயர் அதிகாரிகளையும் ,
அரசியல் தலைவர்களையும் ஆட்கொண்டுள்ளதால்
இதைக் கட்டுப்படுத்தவேண்டும் என்று கருத்து
சொல்வதற்கே தயக்கமாக இருக்கிறது .இலஞ்சத்தை
நம்முடைய அரசியல் மற்றும் நிர்வாக அமைப்பால்
ஒழித்துக் கட்ட முடியவில்லை என்பதை பகிரங்கமாக
ஒப்புக்கொண்டு அதை நியாயப் படுத்தும் விதமாக ,
இலஞ்சம் பெறுவதை அனுமதித்துவிடலாம்
என்று தாங்கள் கருத்து தெரிவித்திருப்பதாகச்
செய்திகள் வெளிவந்தன .
உலகில் எந்த நாட்டிலுள்ள நீதி மன்றங்களும்
சொல்லாத ஒரு கருத்தை இந்திய நீதி மன்றம் சொல்லி
இருக்கிறது என்பதால் இந்தியாவிற்கு உலக அரங்கில்
இன்னும் பெருமை கூடப்போகிறது . இலஞ்சம்
வாங்குகிறவர்கள் இன்னும் அதிகமாக வாங்கத் துணிவு
கொள்வார்கள் . அப்புறம் அதையும் நியாயப்
படுத்தவேண்டி வரும் .சட்டப்படி ஒரு இலஞ்சம், அப்புறம்
வழக்கமான இலஞ்சம் என்று பல பிரிவுகள் தோன்றும் .
இலஞ்சம் நல்லவர்களையும் தீயவர்களாக மாறத் தூண்டும்
ஒரு வலுவான காரணி .பாதிக்கப்படுபவர்கள் கிளர்சியுராமல்
இருக்கும் வரை அதன் உண்மையான பாதிப்பு தெரிவதில்லை.
இப்போக்கு வளரும் போது நிலைப்படுகிறது .
நிலைப்பட்டபிறகு அதைக் கட்டுக்குள் கொண்டுவருதல்
என்பது மிகவும் கடினம் .
பெரும்பாலனவர்கள் ஒரு தவற்றைச் செய்கிறார்கள்
என்பதற்காக அதை ஒருபோதும் அனுமதித்துவிடமுடியது .
பெரும்பாலான மாணவர்கள் படிக்காமலேயே பாஸ்
செய்யவேண்டும் என்று விரும்புகிறார்கள் என்பதற்காக
எல்லோரையும் ஒட்டு மொத்தமாக பாஸ் போட்டுவிடலாமா ? பெரும்பாலான அலுவலர்கள் தங்கள் பணி நேரத்தில்
அரட்டை ,காப்பி குடித்தல் ,புகை பிடித்தல்
போன்று பாதி நேரத்தை கழிக்க விரும்புகிறார்கள்
என்பதற்காக பணி நேரத்தைப் பாதியாகக் குறைத்து
விடலாமா ?

இது நீதிபதிகள் மட்டும் முடிவு செய்யவேண்டிய விசயமில்லை .
இந்தியாவை உண்மையாக நேசிக்கின்ற இந்திய மக்களுக்கும்
சம்பந்தம் உண்டு .

இந்திய சமுதாயமே யோசிக்க வேண்டுகிறேன் .

அன்புடன்

காவேரி

Monday, October 11, 2010

Creative thoughts-11

Creative thoughts-11


Fifth power of a number

The fifth power of a number is equal to the difference of two squares,the sum of its roots
is equal to cube of that number and the difference of its roots is equal to square of the
number.

2x2x2x2x2 = 32 = 6x6 – 2x2 ; 6 + 2 = 8 = 2x2x2 ; and 6 – 2 = 4 = 2x2
3x3x3x3x3 = 243 = 18x18 – 9x9 ; 18 + 9 = 27 = 3x3x3 and 18-9 = 9 = 3x3
4x4x4x4x4= 1024 = 40x40 – 24x24 ; 40 + 24 = 64 = 4x4x4 and 40 – 24 = 16 = 4x4
5x5x5x5x5 = 3125 = 75x75-50x50 ; 75+50 = 125 = 5x5x5 and 75- 50 = 25 = 5x5

In general, it can be shown as ,

NxNxNxNxN = (NxN)(NxNxN) = [(NxN)(N+1)/2][(NxN)(N+1)/2]-[(NxN )
(N-1)/2][(NxN)(N-1)/2]

The greater square root number in this relation is N times the sum of N numbers from 1
In the natural series and the smaller square root number is obtained by subtracting
NxN from it.

Sixth power of a number

The sixth power of a number N is equal to the difference of two squares ,the sum of its
roots is equal to fourth power of that number and the difference of its roots is equal to
the square of that number.

2x2x2x2x2x2 = 64 = 10x10 – 6x 6 ; 10 + 6 = 16 = 2x2x2x2 and 10 – 6 = 4 = 2x2
3x3x3x3x3x3 = 729 = 45x45 – 36x36 ; 45+36 = 8l = 3x3x3x3 and 45-36 = 9 = 3x3
4x4x4x4x4x4 = 4096 = 136x136 – 120x120 ;136+120=256=4x4x4x4 and
                                                                                                   136-120 =16 = 4x4 .
5x5x5x5x5x5 = 15625 = 325x325 – 300x300 ; 325+300=625 =5x5x5x5 and
                                                                                                    325-300 = 25=5x5 .
The general form of this type of relation is

NxNxNxNxNxN =(NxN)(NxNxNxN) = [(NxN +1)(NxN)/2][(NxN +1)(NxN)/2]
                                                                       - [(NxN-1)(NxN)/2]{(NxN-1)(NxN)/2]
If NxNxNxNxNxN is split into N and NxNxNxNxN ,then

NxNxNxNxNxN = [(N+1)(NxN) √N/2][(N+1)(NxN)√ N/2]
                                              – [(N-1)(NxN)√ N/2][(N-1)(NxN)√ N/2]

If N is an even square number ,then NxNxNxNxNxN can be expressed as a
difference of two squares in another way also e.g., when N = 4,

4x4x4x4x4x4 = 80x80 – 48x48

This idea can be extended to any power of a number .e.g.,

NxNxNxNxNxNxN = [(N+1)NxNxNx/2][(N+1)NxNxN/2]
                                                    - [(N-1)NxNxN/2]{(N-1)NxNxN/2]

NxNxNxNxNxNxNxN= [(NxN+1)NxNxN/2][(NxN+1)NxNxN/2]
                                                                -[(NxN-1)NxNxN/2][(NxN-1)NxNxN/2]

NxNxNxNxNxNxNxNxN= [(N+1)NxNxNxN/2][(N+1)NxNxNxN/2]
                                                          -[(N-1)NxNxNxNxN/2][(N-1)NxNxNxN/2]

Sunday, October 10, 2010

Arika ariviyal-10



கார்ல் எட்வர்ட் சுகன் ( ) ( 1934 - 1996 ) என்றொரு அமெரிக்க விண் இயற்பியல் விஞ்ஞானி. இரஷ்யாவிலிருந்து குடியேறிய யூதரான தந்தைக்கும் அமெரிக்கத் தாய்க்கும் பிறந்தவர் .பெற்றோர்கள்

முரண்பட்ட கருத்துகளைக் கொண்டிருந்ததால் கார்ல் சுகன்
பெரும்பாலும் அம்மாவிடமே வாழ்ந்து வந்தார் .இவர் எழுதிய பல
பொது அறிவியல் நூல்கள் மக்களிடையே மிகவும் பிரபலமானவை .நான்கு வயது இருக்கும் போது சுகன்
அமெரிக்காவில் நடைபெற்றஒரு பொருட்காட்சிக்குச்
சென்றார் . அதுவே முதலில் அவருக்கு ஒரு திருப்பு
முனையாக அமைந்தது .விஞ்ஞான விசித்திரங்கள்
அவருக்குள்ளே ஒரு மாற்றத்தை ஏற்படுத்தியது வெறும்
ஒலியை கண்ணால் பார்த்து உணரக்கூடிய ஒரு
படமாகவும், கண்ணால் பார்க்கக் கூடிய படத்தை  ஒலி
ஓசையாகவும் மாற்றமுடியும் என்பதைக் கண்ட சுகன்
அப்பொழுதே தன்னை விஞ்ஞானத்திற்கு அர்பணித்துக்
கொண்டார் .

ஒன்றைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள் . பிரமிப்பூட்டக் கூடிய மிகப் பிரும்மாண்டமான காட்சிகள் எல்லாம் நாமை வெகுவாகக் கவருகின்றன .அவை மௌனமாய்க் கூறும் செய்திகள்
நமக்குள்ளே ஒத்ததிரும் போது நமக்குள்ளும் ஒரு பெரிய
மாற்றம் நிகழ்கிறது .வீட்டுக்குளே அடைந்திருந்தாலும் ,வெறும் புத்தகங்களையே படித்துக் கொண்டிருந்தாலும் அதனால்
இது போன்ற வலுவான திருப்பு முனைகளைப் பெறவே
முடியாது .எனவே உங்கள் குழந்தைகளும் எதிர்காலத்தில்
ஒரு வெற்றியாளனாக வரவேண்டும் என்று
உண்மையிலேயே நீங்கள் விரும்பினால் ,உங்கள்
குழந்தைகளுடன் தினமும் கொஞ்ச நேரம் அவர்களுக்குப்
பிடித்த பொது விஷயங்களைப் பற்றிப் பேசுங்கள் . வெளியில்
பல இடங்களுக்கு அழைத்துச் செல்லுங்கள் . உங்களோடும் ,
வெளியில் இயற்கையோடும், பிறரோடும் ஏற்படுத்திக்
கொள்ளும் உறவாடல்களே உங்கள் குழந்தைகளின்
உயர்விற்கு உறுதியான நன்மை பயக்கும் .
                                     *************


ஒருவர் ஒரு சிறிய படகில் துடுப்பை இயக்கி நீரோட்டத்திற்கு
எதிராகச் செல்ல முயற்சிக்கிறார் .ஆனால் உந்து விசை
போதாமையால் படகு நகராமல் அதே இடத்தில்
இருக்கின்றது. அப்போது அவர் ஏதும் வேலை
செய்கின்றாரா ? அவர் செய்த வேலை என்ன வாயிற்று ?
                                                **************
 படகிற்கும் ,நீரோட்டத்திற்கும் இடையே ஒரு சார்பு வேகம்
உள்ளது. நீரோட்டத்திற்கு எதிராக அவர் வேலை செய்ய வேண்டியிருக்கிறது. அவர் வேலை ஏதும் செய்யவில்லை

என்றால் நீரோட்டத்தின் இழு விசை காரணமாக பின்னுக்குத்
தள்ளப்படுவார். பின் அவர் முன்பிருந்த அந்த இடத்தை அடைய
அவர் வேலை செய்தாகவேண்டும். பூமியைப் பொருத்தமட்டில்
அவர் வேலை ஏதும் செய்யவில்லை.ஏனெனில் இடப்பெயர்ச்சி
சுழியாகும் .

Thursday, October 7, 2010

vinveliyil ulaa -3

விண்வெளி உலா-3





விண்ணியற்பியலும் தொலைவுகளுக்கான அலகுகளும்

விண்வெளியில் உலா போவதற்கு முன்னர் விண்ணியற்பியலில்
பயன்படுத்தப்படும் தொலைவிற்கான அலகு முறைகளைப் பற்றித்
தெரிந்து கொள்ளவேண்டும் .இவை அண்டத்தின் பரிமாணத்தைப்
பற்றியும் அண்டத்தின் சார்பு இருப்பிடம் மற்றும் தொலைவு
பற்றியும் இரு விண்ணுருப்புகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு
பற்றியும் அறிந்து கொள்ளப் பயன்தருகிறது.விண்வெளியில்
நெடுந்தொலைவுகளைக் குறிப்பிடச் சாதாரணமாக நாம்
பயன்படுத்தும் மீட்டர் ,கிலோமீட்டர் போன்ற அலகுகள்
அனுகூலமாக இருப்பதில்லை. ஏனெனில் கிலோமீட்டர் அலகு
முறையில் விண்வெளியில் ஒரு சிறிய தொலைவு
கூட 11 இலக்கங்களைக் கொண்டிருக்கும் . அதை எழுதுவதும்,
குறிப்பிட்டுச் சொல்வதும் சற்று கடினமாக இருக்கும் என்பதால்
வானவியலார் தனித்த அலகு முறைகளைப் பின்பற்றுகிறார்கள் .

வானவியல் அலகு (Astronomical Unit )

இது சூரியக் குடும்பத்திலுள்ள விண்ணுருப்புகளின் தொலைவைக்
குறிப்பிடப் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது .பூமிக்கும் சூரியனுக்கும்
இடைப்பட்ட சராசரித் தொலைவு ஓரலகு வானவியல்
தொலைவாகும். இதை AU என்று சுருக்கமாகக் குறிப்பிடுவார்கள் .
1 வானவியல் அலகு = 1 .496 x 100000000 கி.மீ
இவ்வலகுத் திட்டத்தில் சூரியனின் விட்டம் ௦௦௦ 0௦௦.0093 AU . சூரியனுக்கும் சூரியக் குடும்பத்தின் முதலாவது கோளான புதனுக்கும் உள்ள
தொலைவு 0.387 AU .சூரியனுக்கும் இறுதிக் கோளான
நெப்டியூனுக்கும் உள்ள தொலைவு 30 AU .

ஒளியாண்டு (light year )

வானவியல் அலகு ,விண்மீன்களின் தொலைவைக் குறிப்பிடப் போதுமானதாக இல்லை .எடுத்துக்காட்டாக நமக்கு மிக
அருகிலுள்ள பிராக்சிமா சென்டாரி (proxima centauri ) என்ற விண்மீன்
 260 ,000 AU தொலைவில் உள்ளது .அண்டத்தின் எல்லையோரத்தில் இருக்கும் ஒரு விண்மீனின் தொலைவு இதைப்போல பல
மில்லியன் மடங்கு .அதனால் ஒளியாண்டு என்ற புதிய அளவைக் கற்பித்தனர் .இவ்வலகு முறையால் விண்வெளியில் நெடுந்தொலைவுகளை எளிதாகக் குறிப்பிட்டுச் சொல்லமுடியும் . ஒளியாண்டு என்பது வெற்றிட வெளியில் ஒளி ஓராண்டில் கடந்து செல்லக்கூடிய தொலைவாகும் . ஒளி ,வெற்றிடத்தில் வினாடிக்கு
மூன்றுஇலட்சம் கிலோமீட்டர் என்ற வேகத்தில் செல்கிறது
என்பதால் ஓராண்டில் ஒளி கடக்கும் தொலைவு 946700 கோடி கிமீ
அல்லது 63300 AU விற்குச் சமம் .ஒளியாண்டு போல ,
ஒளி நிமிடம், ஒளி வினாடி போன்ற சிறிய துணை அலகுகளும்
அரிதாகப் பயன்படுத்தப்படுவதுண்டு .நெடுந்தொலைவுகளிலுள்ள
விண்மீன்களை அவை உமிழும் ஒளியைக் கொண்டே
காண்கிறோம் . சூரிய ஒளி பூமியை அடைய ஏறக்குறைய
எட்டேகால் நிமிடம் எடுத்துக் கொள்கிறது .அதாவது
ஒளி ஆண்டுக் கணக்கில் சூரியனுக்கும் பூமிக்கும் இடைப்பட்ட
தொலைவு 0.0000157 ஒளியாண்டுகள். சூரியனுக்கு
அருகிலுள்ள பிராக்சிமா சென்டாரி என்ற விண்மீன் 4 .27
ஒளியாண்டுகள் தொலைவில் உள்ளது. நாம் ஒளியின் வேகத்தில் தொடர்ந்து சென்றால் கூட ,அந்த விண்மீனைச் சென்றடைய
4 .27 ஆண்டுகளாகும் .நாம் எட்டக்கூடிய உயர்ந்தபட்ச வேகம்
என்பது வினாடிக்கு 10 -20 மீட் டர்களே. எனவே நாம் சூரியக்
குடும்பத்தை விட்டு வெளியே சென்று மற்றொரு குடும்பத்தை
அடைவது என்பது நினைத்துப் பார்க்கவே முடியாதிருக்கிறது.
பிராக்சிமா சென்டாரி உமிழும் ஒளி இடைத்தொலைவைக் கடந்து
நம்மை 4 .27 ஆண்டுகளில் அடைகிறது .அந்த விண்மீன்
இப்பொழுது எப்படி இருக்கிறது என்பதை அறிய இன்னும்
4 .27 ஆண்டுகள் காத்திருக்க வேண்டும் .விண்வெளியில்
முழுக் காட்சியை நாம் ஒரே நேரத்தில் கண்ணுற்றாலும்
ஒவ்வொரு விண்மீனும் வெவ்வேறு காலங்களில் இருந்த
நிலையைத்தான் பார்க்கிறோம் என்பது நாம் தெரிந்து கொள்ள
வேண்டிய ஒர் உண்மையாகும் கிலோ ஒளியாண்டு ,மெகா
ஒளியாண்டு என்று ஒளியாண்டுக்கு உயரளவுத் துணை அலகுகள் இல்லை..

பார்செக் (Parsec )

தொலைவிலுள்ள அண்டங்கள் ,வெவ்வேறு அண்டங்களிலுள்ள
முக்கிய விண்மீன்கள்.விண்மீன் தொகுதிகளின் தொலைவைக்
குறிப்பிட பர்செக் என்றொரு அலகு இன்றைக்கு
விண்ணியற்பியலார் பயன்படுத்துகிறார்கள் . கோணத்தை
டிகிரியால் அளவிடுவார்கள் .ஒரு வட்ட்டம் அதன் மையத்தில்
360 டிகிரியைக் கொண்டிருக்கும். ஒரு டிகிரியை 60 சம
பிரிவுகளாக்கி அதை மினிட் (Minute ) என்றும்,ஒரு மினிட்டை
60 சம பிரிவுகளாக்கி அதை செகண்டு என்றும்
குறிப்பிடுவார்கள் .சூரியனை பூமி சுற்றும் வட்டப் பாதையில் இரு
விட்ட முனைகளிலிருந்து கொண்டு விண்மீன்களை நோக்க ,எந்த விண்மீன் தனது தோற்றக் கோணப் பெயர்ச்சியை (Parallax ) இரண்டு செகண்டுகளாகக் காட்டுகிறதோ அதன் தொலைவே பார்செக் ஆகும்
.பாரலாக்ஸ் ,செகண்டு என்ற சொற்களின் இணைப்பால்
உருவான கலைச் சொல்லே பார்செக் ஆகும் .
பிராக்சிமா செண்டாரி யின் இடமாறு தோற்றக் கோணம் 0 .76 செகண்டுகள் .ஆகவே அதன் தொலைவு 1 .31 பார்செக் என்றும்
அல்லது 4 .27 ஒளி ஆண்டுகள் என்றும் கூறலாம்.
ஒரு பார்செக் என்பது 3 .26 ஒளி ஆண்டுகள் அல்லது
3 .08 x 10000000000000 கி.மீ. (30 .8 இலட்சம் கோடி கிலோமீட்டர் ) .
வானவியல் அலகோடு ஒப்பிடும்போது இது 206 .265 AU ஆகும்.
விரிவடையும் விண்ணியற்பியலுக்கு பார்செச்கை விடவும் பெரிய அலகுகள் தேவையாய் இருக்கின்றன. அதனால்
கிலோ பார்செக் (1000  பார்செக் ) மெகா பார்செக்(1000000 பார்செக் )
போன்ற துணை அலகுகளையும் கையாளுகிறார்கள் .

Wednesday, October 6, 2010

vanna vanna ennangal-19

முரண்பாடுகள்




அன்றைக்கு ..........

மரமேறி விளையாடாதேன்னு சொன்னாங்க

மாற்றான் தோப்பு மாங்காய் இனிக்குமென்று

மறைந்து இருவர் திருடிச் சுவைத்தனர்

       இன்றைக்கு ...........

       ஒருவன் காவலனாகப் பதவியில் அமர்ந்தான்

       ஒருவன் திருடனாகிச் சிறையில் அடைந்தான்

அன்றைக்கு .......

சுவரேறிக் குதிக்கதேன்னு சொன்னாங்க

சுவரேறிக் குதிப்பது தனிமனிதச் சுதந்திரமென்று

சுவரேறி இருவர் விழுந்து காயப்பட்டனர்

         இன்றைக்கு ........

        ஒருவன் மரமேறித் தேங்காய் பறித்து தவிக்கிறான்

       ஒருவன் கட்சி விட்டு கட்சி தாவி தழைக்கிறான்

அன்றைக்கு .......

பொய் சொல்லாதேன்னு சொன்னாங்க

பள்ளிக்குப் போய் பாடம் படிக்கிறேனென்று

பகல் காட்சியில் இருவர் படம் பார்த்தனர்

         இன்றைக்கு .........

        ஒருவன் வக்கீலாகி மன்றத்தில் வாதாடுகிறான்

        ஒருவன் பொய்சாட்சியாகி மனம் வருந்துகிறான்

அன்றைக்கு .......

திருடாதே திருடாதேன்னு சொன்னாங்க

திருட்டு சுகம் கிடைப்பது இலவசமென்று

திருந்தாது இருவர் தினமும் திருடினர்

         இன்றைக்கு ........

        ஒருவன் அரசியலைத் திருடி தலைவனாய் இருக்கிறான்

       ஒருவன் பாவம்செய்து பகைவனாய்த் திரிகிறான்

அன்றைக்கு .......

தூக்கம் கெடுத்து முழிக்காதேன்னு சொன்னாங்க
 
தூங்குவது போல் பாவனை காட்டி  

இச்சையால் இருவர் காமம் படித்தனர்

        இன்றைக்கு .....

ஒருவன் மா மாமாவாகி முன்னுக்கு வருகிறான்

ஒருவன் மரணப்படுக்கையில் நோயில்  வாடுகிறான்

அன்றைக்கு .....

சான்றோர் சொல் கேளுன்னு சொன்னாங்க

சாகாத சமுதாயம் வீழாதிருக்க வேண்டுமென்று

வாழும் எல்லோரும் நன்னெறி கேட்டனர்

        இன்றைக்கு ......

       ஆன்றோர் மொழிகள் முரண்பாடாய்த் தோன்ற

       அறிவுரைகள் யாருக்கும் உடன்பாடில்லை

Tuesday, October 5, 2010

Eluthatha Kaditham-13

எழுதாத கடிதம் -13


அன்பார்ந்த ஊராட்சி,பேரூராட்சி,,நகராட்சி,மாநகராட்சித்
தலைவர்களே,மற்றும் அலுவலர்களே ,

சொந்த ஊரிலும் சரி ,வெளி ஊரிலும் சரி வீதிகளில் நடந்து
செல்லும் போது ஆங்காங்கே கொட்டிக்கிடக்கும் குப்பைகளைக்
கண்டு மனம் வெறுத்து நொந்து போவேன் .குறைந்தபட்ச
அழகு கூட வேண்டாம் கொஞ்சம் சுத்தமாவது
வேண்டாமா ? பல இடங்களில் குப்பை கொட்டிக் கொட்டி
அந்த இடமே ஒரு மேடாய்க் காட்சியளிக்கும் .காகிதங்கள்,
பாலிதீன் பைகள் ,வேண்டாத கழிவுப்பொருள்கள் போன்றவை
காற்றில் பறந்து எல்லா இடங்களையும் அசுத்தப்
படுத்தும் .சாக்கடைகளில் விழுந்து வழிந்தோடும் கழிவு
நீரைத் தேக்கி கொசுக்களின் உற்பத்திக்கு உறுதுணையாக இருக்கும் ."இந்தியா ஒரு திறந்த வெளி குப்பைக் கூடம் " என்று சொல்வதை நாம் எப்படி மறுக்க முடியும் ?

இதற்கு மக்களைக் குறை சொல்லிப் பயனில்லை.
ஏனெனில் மக்கள் ஆண்டாண்டு காலமாக இந்தப்
பழக்கத்தை ஒருமனதாக ஏற்றுக்கொண்டு
பாரம்பரியமாக வழக்கப்படுத்திக் கொண்டு வாழ்ந்து
வருகிறார்கள் .அதனால் தான் தெருக்க்களைத் தினந்தோறும்
கூட்டிச் சுத்தப்படுத்தும் பணிக்குத் துப்புரவுப் பணியாளர்களை நியமித்தோம் .இதில் நிச்சியமாக ஒரு மாற்றத்தை ஏற்படுத்தியே ஆகவேண்டும் .குப்பைகளைக் கண்ட கண்ட இடங்களில் போட்டுவிட்டு ,பின் அதை ஒருவர் துப்புரவு செய்தல்
என்பது வேண்டாத வேலை . குப்பைகளை
அப்படிப் போடாவிட்டால் கடினமான ,தவிர்க்கப்படவேண்டிய
அந்த துப்புரவுப் பணியும் இல்லை . துப்புரவு செய்யும் அந்தப் பணியாளர்களின் உழைப்பு இதைவிடச் சிறந்த, ஆக்கப்பூர்வமான பணிகளுக்கு கிடைக்கக்கூடிய வாய்ப்பை நாம் நம்மையும் அறியா நிலையில் தொடர்ந்து செய்துவருகிறோம் .
வேலை இருக்கிறது இருந்தும் பலருக்கு வேலை வாய்ப்பு
இல்லை என்பதால் இது யாருக்கும் உறுத்தலாகத்
தோன்றுவதில்லை .
நாம் வேற்று நாட்டின் சுத்தத்தைப் பார்க்கும் போதும் ,
வேற்று நாட்டான் நம் வீதிகளின் அசுத்தங்களைப் பார்க்கும்
போதும் அவமானப் படவேண்டியதாக இருக்கிறது .
மக்களிடையே ஒரு விழிப்புணர்ச்சியை ஏற்படுத்த
வேண்டியது நம் கடைமையகிறது .
தனார்வத் தொண்டர்களை கொண்டு ஓர் அமைப்பை
ஏற்படுத்தி அவர்கள் மூலம் இதைச் செய்யலாம் .

வீதிகள் தோறும் ,முக்கியமாக மக்கள் அதிகம் கூடும் இடங்கள்,பொதுவிடங்கள் ,தெருக்களின் சந்திப்புகளில்
நிரந்தரமாக குப்பைத் தொட்டிகளை நிறுவ வேண்டும் .
அப்போதுதான் போட வேண்டிய குப்பைகளை போட
வேண்டிய சரியான இடத்தில்போடும் பழக்கம் வழக்கமாகிவரும். குப்பைகளை அகற்றுவதற்கு எளிய வழிமுறைகளை
ஏற்படுத்தாமல் ,குப்பைகளை வெளியில் போடாதீர்கள்
என்று சொல்வதால் மட்டும் பிரச்சனை தீர்வாவதில்லை.

நல்ல நல்ல மாற்றங்களை உட்புகுத்துங்கள் .நல்ல
சமுதாயம் நாளை உருவாகட்டும் .

அன்புடன்

காவேரி

Monday, October 4, 2010

Creative thoughts-10

Creative thoughts-10


Power of a number as the difference of two squares

Any power of a number can be expressed as the difference between two squares ,
where the sum and difference of its roots give higher and lower powers of that number,
so that the product of them is exactly equal to the initial power of the number. This can be
applied effectively to any power of any number.

Cubes

1x1x1 = 1 = 1x1 – 0x0 ; 1 + 0 = 1 = 1x1 ; 1-0 = 1

2x2x2 =8 = 3x3 – 1x1 ; 3 + 1 = 4 = 2x2 ; 3-1 = 2

3x3x3 = 27 = 6x6 – 3x3 ; 6 + 3 = 9 =3x3 ; 6 – 3 = 3

4x4x4 = 64 = 10x10 – 6x6 ; 10 + 6 = 16 = 4x4 ; 10-6 = 4

5x5x5 = 125 = 15x15 – 10x10 ; 15 +10 = 25 = 5x5 ; 15-10= 5

It is found that all the squares involved in these relations are related to triangular numbers
( as they can be represented by triangles). The first few triangular numbers are 1,3,6,10,
15,21,28,36,45,……… The n th triangular number is the sum of n natural numbers from
1 and it is equal to n(n+1)/2. The cube of a number N is found to be the difference
between two successive triangular numbers ,whose sum gives square of the cube
root and the difference ,the cube root itself.

NxNxN = [N(N+1)/2] x [N(N+1)/2] - [N(N-1)/2]x[N(N-1)/2]

If T(n) denotes the n th triangular number ,then

T(n) + T (n-1) = n x n
T(n) – T(n-1) = n

4 th power of a number

The fourth power of a number N is equal to the difference of two squares, the sum
of its roots is equal to cube of that number and the difference of its roots is equal to
the number Itself.

2x2x2x2 = 16 = 5x5 – 3x3 ; 5+3 = 8 = 2x2x2 ; 5-3 = 2

3x3x3x3 = 81 = 15x15 – 12x12 ; 15 + 12 = 27 = 3x3x3 ; 15-12 = 3

4x4x4x4 = 256 = 34x34 – 30x30 ; 34 +30 = 64 = 4x4x4 ; 34-30 = 4

5x5x5x5 = 625 = 65x65-60x60 ; 65+60 = 125 =5x5x5 ;; 65-60 = 5

If N is any number

NxNxNxN = (N/2)[(NxN+1)(NxN+1)] – (N/2)[(NxN-1)(NxN-1)]

The smaller square root number in thes relations is (N-1) times the sum of N numbers
 from 1 in the natural series and the greater square root number is obtained by adding N
with it.

Sunday, October 3, 2010

vanna vanna ennangal-18

எண்ண எண்ண வண்ணங்கள்






ஓர் இனத்தின் சாகாமைக்காக இயற்கை அழித்தவரமே காதல் .

இயற்கையின் அந்த நுட்பத்தை நாம் இன்னும் நன்கு புரிந்து

கொள்ளவேண்டும் .

ஓர் இனத்தை மற்றோர் இனம் அழித்தல் என்பது இயற்கைக்கு

எதிரானது .வலிமைமிக்க இனமொன்று பலவீனமான இனத்தை

எளிதாக அழித்துவிடமுடியும்.அப்படி அழித்தால் ,வேறொரு

இனத்தால் அந்த வலிமைமிக்க இனம் அழிக்கப்படுவதற்கு

ஆளாகும். அழிக்கப்படுவது முன் உதாரணமாகி வெகு இயல்பாகி

விட்டால் அழித்தல் தொழில் சங்கிலித் தொடர் போல நிகழும்

நிகழ்வாகிவிடும்.அப்புறம் யார் விரும்பினாலும் தடுத்து நிறுத்தவே

முடியாது .

'நான் வாழனும் ,நீயும் வாழனும்' என்பதுதான் சமுதாய வாழ்க்கை

இயற்கை எதிர்பார்க்கும் இயல்பான வாழ்க்கை. இதை விட்டுவிட்டு

நான் மட்டும் வாழனும் ,நீ ஒழியனும் என்று நினைப்பது முரண்பாடான

சிந்தனை .



சிறை

சிறைக் கதவுகளுக்கு

இரு பக்கங்கள் உண்டு

இரு மருங்கும் மக்கள்

எவர் சிறைக்கு இரையானார் ?

எவர் இரைக்கு சிறையானார் ?



இதென்ன கேள்வி

சிறையொன்றும் அறியாது

எது உள்ளே எது வெளியே என்று

சிந்தித்துப் பார்த்தல் தெரியும்

சிறையிலிருப்பது இருவரும்தான்



சிறைக்குள்ளே சுதந்திரமில்லை

சுகப்பட எதுவுமில்லை

அப்படியென்றால் வெளியிலிருப்பவர்கள்

அதையெல்லாம் அனுபவிக்கிறார்களா என்ன?

பிறப்பதற்கு முன் கருப்பையில்

பிறந்தபின்பு தாயின் மடியில்

படிக்கும் போது பள்ளியில்

பருவம் வந்த போது

பாவையின் பார்வையில்

வாழும் போது சமுதாயத்தில்

சாகும் போது மரணப்படுக்கையில்

செத்த பின்பு மயானத்தில்

சிறைவாசம் இல்லாத நாள் உண்டா ?



உருளும் உலகமொரு

திறந்த வெளி சிறைச்சாலை

எல்லோரையும் அடைத்திருக்கும்

திருந்தும் வெளி சமத்துவபுரம்

இது இயற்கையின் படைப்பு

இதில் ஏனிந்த செயற்கை இணைப்பு

சிறைக்குள் சிறைச்சாலைகள்

வேடிக்கையாக இல்லை .

ஒரு பக்கத்தில் இருப்பவர்களே

மற்றவர்களை

எப்போது அறியப் போகிறீர்கள் ?