Beal's relation - common properties

பீல் தொடர்பின் பொதுப் பண்புகள்

(1). இருமடியற்ற பீல் தொடர்புகளில் மூன்று உறுப்புக்களுக்கும் ஒரு பொதுக் காரணி இருப்பது அவசியமாகின்றது. பீல் தொடர்பு என்பது ஏதாவதிரு மடிகளின் கூடுதல் ஏதாவதொரு மடிக்குச் சமமாகக் காட்டப்படும் எண் தொடர்புகளாகும் . இது வெறும்  எண்களாலான சமன் தொடர்பிலிருந்து எண்களை மடிகளாக மாற்றும் பெருக்கியால்   உருப்பெருக்கம்  செய்யப்பட்டதாகும் . மூன்று எண்களையும் வெவ்வேறு மடிகளாக்க  வெவ்வேறு பெருக்கிகள் இருந்தாலும்  , சமநிலையையும்  நிலைப்படுத்த  ஒரு பெருக்கியால் மட்டுமே நிறைவு செய்ய முடியும். அப்படிப்பட்ட பொதுப் பெருக்கி மடிமூல எண்களுடன் தொடர்பு கொண்டிருப்பதை தவிர்க்க முடியாததால் அப் பெருக்கியே பொதுக் காரணியாக அமைகின்றது.

(2) a^x + b^y = c^z என்பது ஒரு பொதுவான பீல் தொடர்பாக இருக்கட்டும் . இதை 1- ன் இருபடிச் சமன்பாடாகக் கொண்டு  தீர்வு செய்யலாம் .  a^x + b^y - c^z   =  0  என்ற தொடர்பிலிருந்து  1 = [ - b^y± √(b^2y + 4 a^xc^z) ]/2a^x என்ற தீர்வைப் பெறலாம் .a,b,c மூன்றும் முழு எண்களாக இருக்க வேண்டுமானால் b^2y + 4 a^xc^z      ஒரு இருமடியாக இருக்கவேண்டும் என்ற  நிபந்தனையை விதிக்கின்றது . தொடர்பிலுள்ள 1- ன் குணகங்களை இடமாற்றம் செய்து  b^y + a^x – c^z = 0, b^y – c^z + a^x = 0 போன்ற தொடர்புகளைத் தீர்வு செய்து  முறையே 1 = [ -a^x ± √(a^2x + 4 b^yc^z) ]/2b^y , 1 = [ c^z ± √(c ^2z - 4 b^ya^x) ]/2b^y  போன்ற தீர்வுகளைப் பெறலாம். இக் கூடுதல்  தீர்வுகள் a^2x + 4b^yc^z , மற்றும்  c^2z – 4b^ya^x போன்றவைகளும் இருமடிகளாக இருக்கவேண்டும் என்ற நிபந்தனையை விதிக்கின்றது. இதை ஓர்  எடுத்துக்காட்டுடன் விளக்குவோம்.

3³ + 6³ = 3⁵  என்ற எண்தொடர்பில் a = 3, b=6, c = 3, x = 3, y = 3, z = 5

a^2x + 4 b^yc^z ;  3⁶ + 4 x 6³x 3⁵ = 729 + 209952 = 210681 = 459²  = (2b^y +a^x)²

b^2y + 4 a^xc^z ; 6⁶ + 4 x 3³x 3⁵ = 46656 + 26244 = 72900 = 270² = (2a^x + b^y)²

c^2z – 4b^ya^x  ; 3¹⁰ – 4x 6³x 3³ = 59049 – 23328 = 35721 = 189²   =(c^z - 2a^x)² = (2b^y – c^z)²

இதில் மடி மூல எண்களிடையே  ஓர்  ஒழுங்கு காணப்படுகின்றது . அதாவது (2a^x, c^z, 2b^y ) மூன்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட வேறுபாட்டுடன் கூடிய ஒரு கூட்டுத் தொடரில் இருக்கவேண்டும் என்பது இதனுள் ஒளிந்திருக்கும் ஓர்  ஒழுங்காகும்.

(3).சமன் தொடர்பு என்ற கணிதக் கருவியைக் கொண்டு மடிகளாலான தொடர்புகளை ஆராய்ந்து விருப்பம் போல புதிய எண் தொடர்புகளைச் சமைக்க முடியும்,”1”  ஐயும் சேர்த்து ஏதாவதிரு மடிகளுடன் கூடிய தொடர்புகளை அடிப்படைத் தொடர்பாகக் கொள்ளலாம். அடிப்படைத் தொடர்பிலுள்ள  மூன்று எண்களும்  ஒரே மடியில் குறிப்பிடமுடியுமானால் , எந்த எண்ணை வேண்டுமானாலும் பொதுப் பெருக்கியாகக் கொள்ளலாம் (பிதகோரஸ் தொடர்பைத் தவிர பிற மடித் தொடர்புகள்  அப்படி இருப்பதில்லை). ஆனால் அவை வேறுபட்ட மடிகளாக இருந்தால் . ஒரு சில பொதுப் பெருக்கிகள்  மட்டுமே இருக்கும். இதை ஒரு  குறிப்பிட்ட பெருக்கியால்  பெருக்கிக் கொள்ள அப் பெருக்கி மூன்று எண்களும் இணக்கமாக இருந்தால் பீல் தொடர்புகளைப் பெறமுடிகிறது . ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் சமன் தொடர்பில் உள்ள மூன்று உறுப்புக்களையும் பெருக்கிக் கொள்வதால் அதுவோ அல்லது  ஒரு மடி மூலமோ பீல் தொடர்பிற்கு ஒரு பொதுக்காரணியாக அமைந்து விடுகின்றது. அதனால் பொதுக் காரணி பீல் தொடர்புகளின் உள்ளார்ந்த இயல்பாகின்றது .  

சமன் தொடர்பு தொடர்பின் இரு பக்கமும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணைக்  கூட்டி அல்லது கழித்துக் கொள்வதை அனுமதிக்கின்றது என்பதை நாம் தொடக்கத்தில் தெரிந்து கொண்டோம்  . அடிப்படைத் தொடர்பில் மடிகளாலான உறுப்புகள் இல்லாவிட்டாலும்  இந்த அனுமதியைப் பயன்படுத்தி  பீல் தொடர்புகளை நிறுவலாம். எகா.

[1 + 2 = 3] x a² à a² + (2a² + p)  = (3a² + p); a = 3, p = 9 எனில்  3² + 3³ = 6²

[1 + 4 = 5] x a²à  (a²+ p) + (2a)² = (5a²+ p); a = 3, p = 55 எனில் 4³ + 6² = 10²

[1 + 7 = 8] x a² à a² + (7a² +p) = (8a² + p) ;a = 2 , p = 4 எனில்  2² + 2⁵ = 6²

[1+ 6 = 7] x a² à a² + (6a² – p) = (7a² – p) ; a = 3 , p= 27 எனில் 3² +3³ = 6²

[1 + 2 = 3 }x a³ à a³ + (2a³ – p) = (3a³ – p) ; a = 5. P = 100  எனில் 5³ + 10²  = 15²

[2 + 5 = 7] x a² à (2a² - p) + (5a² - q) = (7a² – r )’ a= 3 ,p =9. 9 = 18 , r = 27 எனில் 3² +3³ = 6²

 ஒரு பக்கத்திலுள்ள இரண்டு எண்களில் ஒன்றுடன் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணைக் கூட்டி அல்லது கழிக்க மற்றொரு எண்ணுடன் அதே குறிப்பிட்ட எண்ணைக் கழித்து அல்லது கூட்டிக் கொள்வதை அனுமதிக்கின்றது. இந்த அனுமதியைப் பயன்படுத்தி யும்  பீல் தொடர்புகளை நிறுவலாம். எ.கா 

[1 + 2 = 3] x a² à a² + (2a² + p)  = (3a² + p); a = 3, p = 9 எனில்  3² + 3³ = 6²

è  (a² + p) + (2a² – p) = 3a² ; a= 3√3 , p = 5 எனில்  2⁵ + 7² = 9²

இரு எண்களின் கூட்டுத் தொகைக்கான சமன் தொடர்புகளைக் கொண்டு ₂²R²₁ வகைக்கான,முழு எண்களாலான  எண் தொடர்புகளை மட்டுமே நிறுவமுடிகின்றது.

[எ.கா 13+12 = 25 à (13-4) + (12+4) = 25 à 3² + 4² = 5² ] .  ₂ⁿ Rⁿ₁ (n ≥ 3) வகைக்கான    முழு  எண்களாலான எண்  தொடர்புகளை  உருவாக்க முடிவதில்லை .

எண் மற்றும் மடிகளாலான அடிப்படைத் தொடர்பை  ஒரு பொதுவான பெருக்கியால் பெருக்கி பீல் தொடர்புகளை ஏற்படுத்தலாம் என்ற வழிமுறையில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் அடிப்படைத் தொடர்பிற்கு ஏற்ப ஒரு சில பொதுப் பெருக்கிகள் மட்டுமே இருக்கின்றன . அவை ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறு விதமான பீல் தொடர்புகளை ஏற்படுத்துகின்றன . எடுத்துக்காட்டாக  a^x + b^y =  c ( c  > a^x, c > b^y),என்ற இரண்டு மடிகளுடனான ஒரு அடிப்படைத்  தொடர்பிற்கு பல பொதுவான பெருக்கிகள் உண்டு,

c^xy x [a^x + b^y =  c] à  (ac^y)^x + (bc^x)^y  = c^xy+1 எடுத்துக்காட்டாக [ 2² + 3³ =31] x 31⁶ à (2x 31³)² + (3 x 31²)³  = 31⁷

மூன்று  மடிகளுடனான அடிப்படைத் தொடர்புடன்

k^xyz x [ a^x + b^y = c^z] à (ak^yz)^x + (bk^xz)^y = (ck^xy)^z எடுத்துக்காட்டாக [27² + 18³ = 9⁴] x n¹² à (27 n⁶)² + (18n⁴)³ = (9n³)⁴ . பொதுப் பெருக்கியின் மடியெண் அடிப்படைத்  தொடர்பிலுள்ள மூன்று உறுப்புக்களின் மடியெண்களையும்  காரணியாகக் கொண்ட எண்ணாக இருக்கின்றது.