எடுத்துக்கொண்ட தொடர் இயலெண் தொடராக இல்லாமல், இரட்டை அல்லது ஒற்றை எண்களால் ஆன தொடராக இருக்கலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட வேறுபாட்டுடன் கூடிய தொடர் எண்களைக் கொண்ட தொடராக இருக்கலாம். அப்போதும் இந்த வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு தொடரின் மதிப்பிலிருந்து மற்றொரு தொடரின் மதிப்பைக் கண்டறியலாம்.

இரட்டை எண்களால் ஆன இயலெண் தொடர்

∑(2n) = 2 + 4 + 6+ 8 …….. 2n   = n(n+1)  , n என்பது தொடரில் உள்ள எண்களின் எணிக்கையைக் குறிப்பிடுகின்றது. N = 2n என்பதால்  ∑N = N(N+2)/4.

∑(2n)²  = k_n ∑(2n) என்று கொண்டு ∑(2n)²க்கான சூத்திரத்தை நிறுவி மதிப்பை அறியலாம்.

  n          ∑2n           ∑(2n)²             k_n                    Δ k_n                                                                         ……………………………………………………………………

                       1                 2                4                2              ……

                       2                 6               20             10/3         4/3

                      3                12               56             14/3         4/3

                      4                20              120              6             4/3          

                      5                30               220           22/3         4/3           

               ……………………………………………………………………………..

  k_n = 2 + (4/3) (n-1) = (2/3) (2n+1)

∑(2n)²  = k_n ∑(2n)  =  (2/3)(2n+1) ∑(2n) = (2/3)(2n+1) n(n+1) = 4 [n(n+1)(2n+1)/6]

N = 2n என்பதால்  ∑N = (2/3) (N+1) (N/2) [(N/2) +1] =  N(N+1)(N+2)/6