## Thursday, December 24, 2015

Applications of Prime factor method

Sum of two cubes   can be made to equal with another sum of two cubes, i.e., some numbers can be expressed as sum of two cubes in two different ways.After exposing the personality of 1729, these numbers are generally called as Ramanujan Numbers.
If the Ramanujan number is the product of three different  odd prime numbers, it will be odd.
a3 + b3 = c3 + d3  = R = Po1 Po2 Po3
(a+b) (a2 - ab - b2)  =(c+d) (c2 - cd + d2) = Po1 Po2 Po3
Since the prime factors cannot be factorized further,  (a+b) and (c+d) must be equal to  one of the three prime factors independently
If a+b= Po3
a2 - ab +b2  = Po1 Po2
Substituting the value of a or b  obtained from the first equation in the second equation,
3b2 - 3bPo1 + Po32 - Po1 Po2   = 0
Solving for b,
b = [3Po3 + √ 12Po1 Po2   - 3Po32 ]/6
a =  [3Po3 - √ 12Po1 Po2   - 3Po32 ]/6
a and b to be whole number, the term inside the square root must be a square number
If c + d= Po2
c2 - cd + d2  = Po1 Po3
It gives c = [3 Po2 +√ 12Po1 Po3   - 3Po22 ]/6 and d =[3 Po2 -√ 12Po1 Po3   - 3Po22 ]/6

7  x   13 x   19    =        1729    =   13 + 123    =     93  +   103
13 x   37 x   43    =      20683    = 103 + 273    =   193  +   243
73 x 157 x 211    =  2418271    = 233 +1343   =   953  + 1163
103x 241 x 307    =  7620661    = 453 +1963   =  1333 + 1743

When the odd Ramanujan number is expressed as the product of two prime numbers and one square of a prime number or a product of two prime numbers

19x 72 x 43   = 40033 = 163 + 333 = 93 + 344
132 x 67 x 163 = 1845649 = 423 + 1213 = 493 + 1203
(7x19) x 379 x 409 = 20616463 = 1113 + 2683 = 1513 + 2583

In the case of even Ramanujan numbers, 2n  will be one of the factors.If the other two facgtors are prime, then, (a+b) or (c+d) will be even . It can be expressed by the entire 2n  and it may include or not one of the prime factors.

13 x 79 x 26 = 65728 = 123  + 403 = 313 + 333

## Wednesday, December 16, 2015

### Fetmalt's Last Theorem

RESOLVING FERMAT'S LAST THEOREM _PRIME FACTOR METHOD

Introduction

Fermat asserted in the early 17 th century that it is impossible to find two cubes or two higher powers that sum to another cube or a higher power respectively. For n > 2, there are no integer solutions to the equation  xn  + yn = zn. Fermat claimed to have a valid proof of his conjecture which appears as one of the marginal notes in his manuscripts. As the margin was too small to accommodate the proof, he left the space without any clue or description.Fermat made a number of similar marginal notes, all of which had been resolved satisfactorily except this one- hence the title of Fermat Last Theorem.

Since then many mathematicians world over attempted to resolve FLT .Euler7 in 1753 proved FLT for n = 4. Gauss2 corrected his attempt for n = 3 in 1825.Legendre6,in 1839 proved FLT for n = 5 Lame3, Pepin4 proved it for n = 7 in 18 th century.Germain added additional values of n to the proven list. D .Lehmer and E.Lehmer expanded  their work in 20 th century.Joe Butler and Richard Crandall5 brought Computer technology to FLT and prove it for all exponents n < 4,000,000. A proof1 of FLT was given by R .Taylor and A.Wiles on the basis of elliptic curve and modular theory.

Nature loves symmetry but also to be always simple. In fact mathematical descriptions made by human beings to understand the nature are not exactly what the nature is. The nature will never follow our mathematics at all .It is only an approximate description of nature, it always requires some correction at later stage.Every natural problem must have its own natural proof under the vision of nature. It prognosticates that there must certainly be a simple and natural proof for FLT.A natural attempt is made to invistigate the existence of such proof.This paper makes a successful attempt to get a simple and marvellous proof  for FLT.

Characteristics of Equal power relations

The numeral relation in the form xn + yn = zn is found to exist only when x,y,z called triple and n are all whole integers provided n =1 or 2. When n = 1 ; x+ y = z, then xn + yn < zn  for n  >  1; when n = 2 ; x2 + y2 = z2  then  x + y > z and xn + yn < zn when n > 2; when n = 3; x3 + y3 = z3 then xn + yn  > zn  when n < 3 and xn + yn  < zn  when n > 3 . In general xn + yn = zn  then  xn + yn  > zn when n = 1 to n-1 and xn + yn  < zn when n = n+1 and  above.
The choice of being odd and even is also restricted. In (x,y,z) all cannot be odd and any two cannot be even with third one being odd due to non-conservation of odd-evenness of the equation. Being (odd,odd,even) is forbidden for the same reason. All being even is not taken into consideration as it is reducible into another configuration. The only possibility is the members of the triple must be (odd ,even,odd).

Prime factor method - a Marvalous proof for FLT

For n > 2, there are no integer solutions to the equation  xn + yn = zn. Andrew-Wills  in the 1990 s, prove this conjecture on so called elliptic curves and modular forms. Without any complexity of mathematical description,  FLT can simply be proved with the prime factors associated with triples. At first let us establish this new method of proving FLT for the exponent  n= 3.All odd numbers will have only odd prime  factors denoted by Po ,  where as all even numbers will have invariably the even prime factor 2 .Besides that it may have one or more odd prime factors Po.
In general an odd and even numbers can be represented in terms of its prime factors as
N(odd) = Po1n1 P02n2 Po3n3 ..................... Pomnm
N(even)  =  2n1 Po1n2 Po3n3 ..................... Pomnm
where n1, n2, n3 , .........nm may have any value from 0 to n depending upon the value of the number. n1 has a minimum value 1 in the case of even numbers. If all powers are zero, the number will reduce to 1 For a number greater than 1, atleast one or more exponents will be non-zero.
The most general representation of cube of an odd and even numbers is
N3(odd) = Po13n1 P023n2 Po33n3 ..................... Pom3nm
N3(even)  =  23n1 Po13n2 Po33n3 ..................... Pom3nm
If the number N is not prime, then it  will be divisible by a prime less than or equal to √N.

If a cube is divisible by a prime factor, it should be divisible by square and cube  of the prime factor if the number is singly that prime factor.If it is doubly that factor, then its cube will be divisible by its square cube,fourth power,fifth power and 6 th power of the prime factor and so on.
Making use of this fact one can prove that x3 + y3 = z3  cannot exist with x,y,z all whole integers.
x3 + y3 = z3
(x+ y) (x2 - xy + y2) = z3
In this equal power relation, the prime factors representation must be same in both sides. Taking x=odd, y=even and z=odd then (x+y) = odd and (x2 - xy + y2) = odd.The conditions provided by the equal power of cubical relation for the values of its members are (i) x < z, (ii) y < z  (iii) x+y > z. and (iv) Since (x+y) is greater than z,  (x2 - xy + y2) must be less than z2.
(x+y) cannot be a single prime number. If so it will be a prime factor for z and z3 will be equal to some multiples of  (x+y)3 . It cannot be since (x+y) > z. The prime factors of z3, must be equal to the prime factors of the product (x+ y) (x2 - xy + y2) .What ever prime factors associated with z3, all of them must be shared with the two product terms as per the conditions stated above.
Let us represent z  in terms of two prime factors for simplicity.
z = P01 P02   and z3  = Po13 P023
One possible distribution of prime factors without violating the conditions is
(x+y) =   P012 P02  then (x2 - xy + y2)  =  P01 P022   , whatever may be the prime factors  associated with x and y .In fact the prime factors associated with x and y is  not at all required.
By solving these two equations, one can get values for x and y for a given value of z.
y = P012 P02  - x
By substituting this value of y in the other relation we get,
3x2 -3x P012 P02  +  P014 P022  =   P01 P022
3x2 -3x P012 P02  +  P014 P022  -   P01 P022  = 0
Solving for x,we get,
x = 1/2 (P012 P02 ) + 1/6 √ (12P01 P022  - 3P014 P022)
y =  1/2 (P012 P02 ) - 1/6 √ (12P01 P022  - 3P014 P022)
The term inside the square root is negative and hence they must be complex in  nature as √ p is irrational for any prime p.
If z  = P01P02  = 3x7 = 21, then
x=[63 + i √ 1127]/2  and y = [63 - i √ 1127 ]/2
When the prime factors are interchanged, the value of z will  not change But it gives another permissible pair of value for x and y.
x =   [147 + i√ 7119]/2   and y = [147 - i√ 7119]/2
Instead of z,If x (odd) is taken as P01P02
x3 = z3 - y3  = (z - y) (z2 + zy + y2)
x = P01P02  and x3  = P013P023,
By distributing the prime factors as follows,
z - y = P01 then z2 + zy + y2 =P012P023 since x+y > z , x > z - y
Substituting this value of z = P01 + y  in the other  equation
z2 + zy + y2 = 3y2 + 3y P01 +  P012 = P012P023
3y2 + 3y P01 +  P012 - P012P023 = 0
This is a quadratic equation in terms of y, solving for y we get,
y = [ -3P01 +  √  9 P012 -12 (P012 - P012P023)]  / 6
y = [ -3P01 + √ 12 P012P023 - 3P012 ] /6 and z = [ 3P01 + √ 12 P012P023 - 3P012 ]  /6
If x = P01 x P02  = 3x7 , then
y = [-3 + √  4113]  / 2 and z = [3 + √  4113] / 2
By interchaning the prime factors, we get yet another permissible value
y = [- 21 +√ 15729 ]/6  and z = [21 +√ 15729]/6

Generalization

Let us consider the most general case xn + yn = zn. The exponent n may be either even or odd. This method is unique for both odd and even exponents.

The the general form can be rewritten as
xn = zn - yn = (zn/2 - yn/2) ( zn/2 + yn/2)
x is assumed as x =Po1n1 P02n2 Po3n3 ..................... Pomnm,  then
xn =   Po1nn1 P02nn2 Po3nn3 ..................... Pomnnm
Distributing the prime factors associated with xn between (zn/2 - yn/2) and ( zn/2 + yn/2) without violating the conditions (i) xk+yk > z k when k < n , xk +yk = z k when k = n and xk+yk < z k when k >n (ii) x< z, y< z  .
The advantage of this method is it requires the prime factors associated with one member only  and not for the remaining two other members since the power of a member xn is represented in terms of product of sum and difference of two terms.
According to any one of the permissible distributions of prime factors,
Po1nn1 P02nn2 Po3nn3 ..................... Pomnnm  = (zn/2 - yn/2) ( zn/2 + yn/2)
( zn/2 + yn/2) = Po1nn1- m1 P02nn2-m2 Po3nn3-m3 ..................... Pomnnm-mm
and
(zn/2 - yn/2)  =   Po1 m1 P02m2 Po3m3 ..................... Pommm
where nn s and mns may take any value depending upon the prime factors  associated with members of the triple.
2zn/2 = Po1nn1- m1 P02nn2-m2 Po3nn3-m3 ..................... Pomnnm-mm +  Po1 m1 P02m2 Po3m3 ..................... Pommm
Squaring both sides
4zn = Po12(nn1- m1) P022(nn2-m2) Po32(nn3-m3) ..................... Pom2(nnm-mm) +  Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm + 2Po1nn1 P02nn2 Po3nn3 ..................... Pomnnm

zn = (1/4) [Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm ( Po12nn1-4 m1 P022nn2- 4m2 Po32nn3-  4m3 ..................... Pom2nnm- 4mm +  1 + 2Po1nn1-2m1 P02nn2-2m2 Po3nn3 -2m3..................... Pomnnm-2mm)

zn = (1/4) [Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm ( Po1nn1-2 m1 P02nn2- 2m2 Po3nn3- m3 ..................... Pomnnm- 2mm +  1)2 .
Similarly by substracting we get,
2yn/2 = Po1nn1- m1 P02nn2-m2 Po3nn3-m3 ..................... Pomnnm-mm -  Po1 m1 P02m2 Po3m3 ..................... Pommm
Squaring both sides
4yn = Po12(nn1- m1) P022(nn2-m2) Po32(nn3-m3) ..................... Pom2(nnm-mm) +  Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm - 2Po1nn1 P02nn2 Po3nn3 ..................... Pomnnm

yn = (1/4) [Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm ( Po12nn1-4 m1 P022nn2- 4m2 Po32nn3-  4m3 ..................... Pom2nnm- 4mm +  1 - 2Po1nn1-2m1 P02nn2-2m2 Po3nn3 -2m3..................... Pomnnm-2mm)
yn = (1/4) [Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm ( Po1nn1-2 m1 P02nn2- 2m2 Po3nn3- 2m3 ..................... Pomnnm- 2mm - 1)2

The roots of both z and y will be either complex or irrational. The complex and irrational features are exposed by its constituent prime factors.

ACKNOWLEDGEMENT

The author is thankful to Fermat who gave an open  problem to think over in recreational mathematics.This proof is dedicated to Mahatma Gandhi in India and Fermat in France.

## Monday, December 14, 2015

### Fermat's Last Theorem- applications of Prime factors method

Fermat's Last Theorem- Applications
If x is given a whole integer. Then
x3 = z3 - y3  = (z - y) (z2 + zy + y2)
x(odd) = P01P02  and x3  = P013P023
Since x+y > z , x > z - y
The distribution of the prime factors of x3 among its two product factors should satisfy this condition.
z - y = P01  then z2 + zy + y2 =P012P023
z= P01 + y substituting this value of z in the other  equation
z2 + zy + y2 = 3y2 + 3y P01 +  P012 = P012P023
3y2 + 3y P01 +  P012 - P012P023 = 0
This is a quadratic equation in terms of y, solving for y we get,
y = [ -3P01 +  √  9 P012 -12 (P012 - P012P023)]  / 6
y = [ -3P01 + √  12 P012P023 - 3P012 ]  /6
If x = P01P02  = 3x7 , then
y = [-3 + √ 4113]  / 2 and c = [3 +  √ 4113] / 2

The conservation of odd-evenness of the cubical relations demands that z - y = 23n where n is a number.
when n=1 z - y= 8 and y is singly even,when n = 2 x - y = 64 and y is doubly even and so on.
y 3  = 23n P013 ........... (any number of odd prime factors)
y3 = z3 - x3 = (z - x) (z2 +zx + x2)
where z - x is even where as z2 +zx + x2 is odd, hence z - x = 23n or one or more prime factors may be attached with it.. All the remaining prime factors multiplied together  must be equal to z2 +zx + x2 . For example
y = 2P01  then    y3 = 23P013 = z3 - x3  = (z - x) (z2 +zx + x2)
z - x  = 8 or z = x + 8. Substituting this value of z in z2 +zx + x2 = P013
3a2 +24a +64 - P013  = 0
or a =[  -12 + √  3P013  - 48] / 3
If P01  = 7 , x = - 4 +  √109  and  z = 4 + √  109
If P01  = 11, x = [ -12 + √3945]/3 and z = x+ 8  = [ 12 + √ 3945]/3

### Fermat Last Theorem- A simple and valid proof

A simple and natural  proof for Fermat's Last Theorem - 3

3. conservation of number digit in equal power relations (14-12-2015)

In all numeral relations, the number digit must be conserved. Number digit of a numbern is a single digit number by adding all the digits of the given number. The process of adding the digits of the number is repeated until a signle digit number called number digit is obtained.
In Pythagorus relation the sum of number digit of x2 and y2 must be equal to the number digit of z2. The number digit of the square of a number is equal to the square of the number nigit of that number.
It is noted that the number digit of a square can have only 1,4,7 and 9.
12 =   1 =    1        112  = 121  =   4
22  =  4  =   4        122  = 144  =   9
32  =  9  =   9        132  = 169  =   7
42  =  16  = 7        142  = 196  =   7
52  =  25 =  7        152  = 225  =   9
62  =  36 =  9        162  = 256  =   4
72 =   49 = 4         172  =  289 =   1
82 =   64 =  1        182  = 324  =   9
92 =   81 =  9        192 =  361  =   1
102 = 100 = 1       202  = 400  =   4

Number digit                       Number digit of z2
_______________________________________________
x    /  y        1           4            7            9
_______________________________________________
1                        2           5           8             1
_______________________________________________
4                        5           8           2             4
_______________________________________________
7                        8           2           5             7
_______________________________________________
9                        1            4           7            9
_______________________________________________

The conservation of number digit demands that the number digit of one of the two squares added together must be 9.All the numbers that are some multiples of 3 will have number digit 9. Thus one of the Pythagorean triples in the sum of two squares must be a multiple of 3.
Even though the conservation of number digit allows the possibility of having number digit of x,y,z as 9, it is not taken into consideration as the numeral relation becomes reducible.
In the case of cubical relation the conservation of number digits the number digit of a cube must be equal to the number digit of sum of the two cubes.The number digit of cubes can be either 1or 8 or 9 and they vary cyclically in the natural series.

Number digit                       Number digit of z3                             _________________________________
x    /  y        1           8           9
___________________________________
1                        2           9           1
___________________________________
8                        9           7           8
___________________________________
9                        1           8           9
____________________________________

A cube cannot have number digit 2 and 7 .This table predicts the possibility of formation of cubical relations  only when the number digits of x,y,z as (1,8,9;1,9,1; 8,9,8). ,where (9,9,9) is ruled out as it gives reducible triples.It clearly shows that one of the cubes must have a number digit 9, that is one of the base numbers must be a multiple of 3. where as the other numbers must give remainder 1 or 2 and 2 or 1  respectively on division by 3.,if both of them are in the same side if not the two members must give same remainder on division by 3. Accordlingly the various possibilities of the triple are (3na + 1,3nb + 2, 3nc),or (3na+2 ,3nb+1 ,3nc),(3na + 1 , 3nb, 3nc + 1) (3na +2 , 3nb , 3nc + 2).

simple and natural  proof for Fermat's Last Theorem

5.Prime factor method for FLT (Marvalous proof)

FLT can be simply proved with the prime factors associated with triples. At first let us make an attempt for n= 3.All odd numbers will have only odd prime  factors (Po),  where as all even number will have invariably the even prime factor 2 .Besides that it may have one or more odd prime factors (Po)

Odd  number-prime factors             even number-prime factors

2                         2
3                        3                                             4                         22
5                        5                                             6                         2,3
7                        7                                             8                         23
9                        32                                           10                        2,5
11                     11                                            12                        22,3
13                     13                                            14                        2,7
15                     3,5                                           16                        24
17                     17                                            18                        2,32
19                     19                                            20                        22,5
21                     3,7                                           22                        2,11
23                     23                                            24                        23,3
25                     52                                             26                       2,13
27                     33                                                28                        22,7
29                     29                                            30                        2,3,5
31                     31                                            32                        25
33                     3,11                                         34                        2,17

In general an odd and even numbers can be represented in terms of its prime factors as
n(odd) = Po1n1 P02n2 Po3n3 ..................... Pomnm
n(even)  =  2n1 Po1n2 Po3n3 ..................... Pomnm
where n1, n2, n3 , .........nm may have any value from 0 to n depending upon the value of the number. n1 has a minimum value 1 in the case of even numbers. If all powers are zero, the number will reduce to 1, hence atleast any one of the power will be greater than one.
The most general representation of cube of an odd and even numbers is
n3(odd) = Po13n1 P023n2 Po33n3 ..................... Pom3nm
n3(even)  =  23n1 Po13n2 Po33n3 ..................... Pom3nm
If a cube is divisible by a prime factor, it should be divisible by square and cube  of the prime factor if the number is singly that prime factor.If it is doubly that factor, then its cube will be divisible by its square cube,fourth power,fifth power and 6 th power of the prime factor and so on.
Making use of this fact one can prove that x3 + y3 = z3  cannot exist with x,y,z all whole integers.
x3 + y3 = z3
(x+ y) (x2 - xy + y2) = z3
In this equal power relation, the prime factors representation must be same in both sides. Taking x=odd, y=even and z=odd then (x+y) = odd and (x2 - xy + y2) = odd.The conditions provided by the equal power of cubical relation for the values of its members are (i) x < z, (ii) y < z  (iii) x+y > z. and (iv) Since (x+y) is greater than z,  (x2 - xy + y2) must be less than z2 .
(x+y) cannot be a single prime number. If so it will be a prime factor for z and z3 will be equal to some multiples of  (x+y)3 . It cannot be since (x+y) > z. The prime factors of z3, must be equal to the prime factors of the product (x+ y) (x2 - xy + y2) .What ever prime factors associated with z3, all of them must be shared with the two product terms as per the conditions stated above.
Let us represent z  in terms of two prime factors for simplicity.
z = P01 P02   and z3  = Po13 P023
One possible distribution of prime factors without violating the conditions is
(x+y) =   P012 P02  then (x2 - xy + y2)  =  P01 P022   , whatever may be the prime factors  associated with x and y .In fact the prime factors associated with x and y is  not at all required.
(x+y)3 = x3 + y3 + 3xy(x+y) = z3 + 3xy(x+y)
substituting the corresponding prime factors, we get,
(P016 P023) = P013 P023 + 3xy(P012 P02)
(P014 P022) = P01 P022 + 3xy
3xy = P014 P022 -  P01 P022
4xy = (4/3)(P014 P022 -  P01 P022 )
(x-y)2 = (x+y)2 - 4xy
= P014 P022 - (4/3)(P014 P022 -  P01 P022 )
= [3 P014 P022 - 4 (P014 P022 -  P01 P022 )]/3
= [4 P01 P022 - P014 P022]/3
x-y =  √[ (4/3)(P01 P022) - (1/3)P014 P022 ]
x+ y =  P012 P02
By adding and subtracting we can get x and y,
2x = P012 P02  + √[4/3)(P01 P022) - (1/3)(P014 P022) ]
2y = P012 P02   - √[4/3)(P01 P022) - (1/3)(P014 P022) ]
Both x and y will not be whole integer as the odd prime factors cannot be divided perfectly by 2 and √P01  cannot be rational.
When P01=3 and Po2 = 7, we get,
z = 21 ,which gives x = [63 + i √1127]/2 , y = [63 - i √ 1127]/2
The very same result can be obtained by solving the two equations
(x+y) =   P012 P02
(x2 - xy + y2)  =  P01 P022
y = P012 P02  - x
By substituting this value of y in the other relation we get,
3x2 -3x P012 P02  +  P014 P022  =   P01 P022
3x2 -3x P012 P02  +  P014 P022  -   P01 P022  = 0
Solving for x,we get,
x = 1/2 (P012 P02 ) + 1/6 √ (12P01 P022  - 3P014 P022)
y =  1/2 (P012 P02 ) - 1/6 √ (12P01 P022  - 3P014 P022)
The term inside the square root is negative and hence it must be complex in  nature.It gives the same value for x and y as determined before.
Simple and natural  proof for Fermat's Last Theorem

6. Generalization of Prime factor method for FLT (Marvalous proof)
This proof is dedicated to Mahatma Gandhi in India and Fermat in France.
Let us consider the most general case xn + yn = zn
Case(i) When n is even

The the general form can be rewritten as
xn = zn - yn = (zn/2 - yn/2) ( zn/2 + yn/2)
x is assumed as x =Po1n1 P02n2 Po3n3 ..................... Pomnm,  then
xn =   Po1nn1 P02nn2 Po3nn3 ..................... Pomnnm
Distributing the prime factors associate with xn between (zn/2 - yn/2) and ( zn/2 + yn/2) without violating the conditions (i) xk+yk > z k when k < n , +yk = z k when k = n and xk+yk < z k when k >n (ii) x< z, y< z  .
This method does not require the prime factors associated with the remaining two other members since xn is represented in terms of product of sum and difference of two terms.
According to any one of the permissible distributions of prime factors,
Po1nn1 P02nn2 Po3nn3 ..................... Pomnnm  = (zn/2 - yn/2) ( zn/2 + yn/2)
( zn/2 + yn/2) = Po1nn1- m1 P02nn2-m2 Po3nn3-m3 ..................... Pomnnm-mm
and
(zn/2 - yn/2)  =   Po1 m1 P02m2 Po3m3 ..................... Pommm
where nn s and mns may take any value depending upon the prime factors  associated with members of the triple.
2zn/2 = Po1nn1- m1 P02nn2-m2 Po3nn3-m3 ..................... Pomnnm-mm +  Po1 m1 P02m2 Po3m3 ..................... Pommm
Squaring both sides
4zn = Po12(nn1- m1) P022(nn2-m2) Po32(nn3-m3) ..................... Pom2(nnm-mm) +  Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm + 2Po1nn1 P02nn2 Po3nn3 ..................... Pomnnm

zn = (1/4) [Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm ( Po12nn1-4 m1 P022nn2- 4m2 Po32nn3-  4m3 ..................... Pom2nnm- 4mm +  1 + 2Po1nn1-2m1 P02nn2-2m2 Po3nn3 -2m3..................... Pomnnm-2mm)

zn = (1/4) [Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm ( Po1nn1-2 m1 P02nn2- 2m2 Po3nn3- m3 ..................... Pomnnm- 2mm +  1)2

Similarly by substracting we get,
2yn/2 = Po1nn1- m1 P02nn2-m2 Po3nn3-m3 ..................... Pomnnm-mm -  Po1 m1 P02m2 Po3m3 ..................... Pommm
Squaring both sides
4yn = Po12(nn1- m1) P022(nn2-m2) Po32(nn3-m3) ..................... Pom2(nnm-mm) +  Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm - 2Po1nn1 P02nn2 Po3nn3 ..................... Pomnnm

yn = (1/4) [Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm ( Po12nn1-4 m1 P022nn2- 4m2 Po32nn3-  4m3 ..................... Pom2nnm- 4mm +  1 - 2Po1nn1-2m1 P02nn2-2m2 Po3nn3 -2m3..................... Pomnnm-2mm)
yn = (1/4) [Po1 2m1 P022m2 Po32m3 ..................... Pom2mm ( Po1nn1-2 m1 P02nn2- 2m2 Po3nn3- 2m3 ..................... Pomnnm- 2mm - 1)2

The roots of both z and y will be either complex or irrational.This is true even when n is odd.
Applying these relations for a cubical relation,
n=3, n1= 1 , n2  = 1, n3, n4.....  nm = 0 and m1, m2 = 1,

x3= P013 P023

z3 = (1/4) [ Po12  P022 (Po1 P02 + 1)2 ]
y3 = (1/4)  [ Po12  P022 (Po1 P02 - 1)2 ]

If P01 =  3 and  P02 = 7, then x = 21  and x 3 = 9261
y3  = (1/4) [441 x400] = 44100
z3 =(1/4)[441 x 484 ] = 53361

## Saturday, December 12, 2015

### Fermat Last Theorem FLT

A simple and natural  proof for Fermat's Last Theorem - 2

2.Conservation of odd-evenness in  equal odd power relations

Before to understand the simple,natural and marvellous proof  (may be the one what Fermat missed to add in the margin), let us be conversant with the inherent mathematical properties associated with equal power relations xn  + yn = zn. When n is odd the conservation of odd-evenness does not permit the integer solutions.

This can be exemplified with the general form of cubical relation itself.
x3 + y3 = z3
(x+y) (x2 - xy + y2) = 8nz3
If x and y are both odd, then x+y will be even, while x2 - xy + y2 will be odd. This relation shows that the evenness of (x+y) is exactly same as theat of the evenness of z3.If z is singly even its value will be 8nz3, if it is doubly even, it will be 64nz3 and so on so fourth. If z is signly even z3 = 8 nz3 where nz is odd.Hence x+ y = 8 or 8nz [ x + y > z (=2nz) ] and (x2 - xy + y2) =nz3 or nz2 [(x2 - xy + y2)  < z2(= 4nz2) ]

If x+y = 8, then y = 8- x ,on substitution  in the other relation we get
3x2 - 24 x + 64 - nz3 = 0
It gives x =  [12 - √3 nz3 -48 ] / 3 and y = [12 + √3nz3 -48] / 3 , both x and y will be irrational for all real and integer values of nz.
If x+y = 8nz, then y = 8nz - x
3x2 -24 nz x + 64 nz 2 - nz 2 = 0
3x2 -24 nz x + 63 nz 2  = 0
It gives x =[ 8nz   +i nz √  20 ] / 2 and y = [8nz   - i nz √  20 ] / 2
Both x and y become complex.
For any even integer values for z, both x and y are either irrational or complex. This is true even for odd integer values for z.
The concept of conservation of odd-evenness proves the FLT for n = 3.

If z is doubly even then z3 = 64 nz3 so that x+y= 64 or 64 nz and (x2 - xy + y2) =  nz3 or nz2
It gives the value of x and y in terms of nz
x = [96 + i √ 3nz3 - 3072]/ 3 and y = 96 + i √3nz3 - 3072]/ 3

### Fermat Last Theorem -FLT

A simple and natural  proof for Fermat's Last Theorem - 1

Introduction:
Fermat asserted in the early 17 th century that it is impossible to find two cubes or two higher powers that sum to another cube or a higher power respectively. For n > 2, there are no integer solutions to the equation  xn  + yn = zn. Fermat claimed to have a valid proof of his conjecture which appears as one of the marginal notes in his manuscripts. As the margin was too small to accommodate the proof, he left the space without any description.Fermat made a number of similar marginal notes, all of which had been resolved satisfactorily except this one- hence the title of Fermat Last Theorem.

Euler in 1753 proved FLT for n =4. Gauss corrected his attempt for n = 3 in 1825.Legendre,in 1839 proved FLT for n =5 Lame proved it for n =7 in 18 th century.Germain added additional values of n to the proven list.D .Lehmer and E.Lehmer expanded  their work in 20 th century.Joe Butler and Richard Crandall brought Computer technology to FLT and prove it for all exponents n < 4,000,000. A proof of FLT was given by R .Taylor and A.Wiles on the basis of elliptic curve and modular theory.

Nature loves symmetry but also to be always simple. In fact mathematical descriptions made by human beings to understand the nature are not exactly what the nature is. There must be a simple and natural proof for FLT with no complexity in mathematical descrption.
1.Conservation of odd-eveness in equal even power relations

The numeral relation in the form an + bn = cn is found to exist only when a,b,c and n are all whole integers provided n =1 or 2.
When n = 1 ; a+ b = c, then an + bn < cn  for n  >  1

when n = 2 ; a2 + b2 = c2  then  a + b > c and an + bn < cn when n > 2

when n = 3; a3 + b3 = c3 then an + bn  > cn  when n < 3 and an + bn  < cn  when n > 3
In general an + bn = cn  then  an + bn  > cn when n = 1 to n-1 and an + bn  < cn when n = n+1 and all higher powers.

When n - 2; a2 + b2 = c2 and are called Pythagorus relations, where the sum of two squares is equal to a square. The set of values (a,b,c) is called Pythagorean triple.
The Pythagorean triples cannot have all possible values as they have to satisfy the Pythagorus relation.
Condition.1
a             b             c
even      even       even
odd         odd         odd
odd        even        even
even       odd         odd
odd        odd          even

Out of various individual possibilities, the first one will be redicible where 2 will be a common factor for all the triple.Ultimately it will reduce to the permissible form.
The second one is forbidden as the sum of two odd numbers cannot be an odd number.This is true in  the case of third one .
The conservation of odd-evenness necessitates that only fourth and fifth cases are allowed.
Consider the fifth case (odd, odd, even)
(2na + 1)2 + (2nb + 1)2 = (2nc)2

where na, nb and nc may be odd or even. On expansion we have,
4(na2 + nb2 ) + 4(na + nb) + 2 = 4 nc2

2 (na2 + nb2 ) + 2(na + nb) + 1 = 2 nc2
It is found that LHS is odd while RHS is even, what ever may be the values of nx  ny  and nz.The non-conservation of odd-eveness demands that this type of relation is forbidden. Hence the only possibility  of (a,b,c) is (odd ,even, odd).

(2na + 1)2 + (2nb)2  = (2nc + 1)2

4(na2 + nb2 ) + 4na  + 1 = 4 nc2 + 4nc + 1

(na2 + nb2 ) + na  =   nc2 + nc

nb2  = (nc - na) (nc + na + 1)
If nb  is odd  ,both the factos must be odd. If nc - na is odd nc + na will also be odd or nc + na + 1 will be even. .Hence nb must necessarily be even.

We can prove that  in all the equal pwer relations what ever may be the value of exponent n  ,the former form is forbidden while the later one is permitted.. It is very easy to establish this fact when the exponent is even.
When n = 4
(2nx + 1)4 + (2ny  + 1)4 = (2nz)4

16(nx4 + ny4 ) + 32 (nx3 + ny3) + 24(nx2 + ny2 ) + 8(nx+ ny) + 2 = 16 nc4
It is reduced to
8(nx4 + ny4 ) + 16 (nx3 + ny3) + 12(nx2 + ny2 ) + 4(nx+ ny) + 1 = 8 nc4
It is impossible  due to non-conservation of odd-evenness.It shows that  the sum of two odd numbers raised to any even power is always singly even,when divided by 2 gives  an odd number. It implies that the only possibility of formation of triplet with even exponent is (odd,even,odd).

## Sunday, November 29, 2015

### creative thoughts

வேற்றுமையில் ஒற்றுமை
ஒன்று பலவாவது வேற்றுமை, பல ஒன்றாவது  ஒற்றுமை..ஒன்று பலவாவதும் பல                      ஒன்றாவதும்   சமுதாயத்தில்  மட்டுமில்லாமற்   இயற்கையில் எங்கும் காணப்படும்  ஒருவித திருவிளையாடல்.தான்.  ஆனால் இரண்டிற்கும் இடையே முக்கியமான வேறுபாடு உள்ளது.

இயற்கையின் ஒற்றுமை
ஒரு காலத்தில் ஒன்று திரண்டு  உருவான ஒரு பெரிய தீக் கோளம்  வெடித்துச் சிதறியதால்தான் உதறிக் கிடக்கும் இந்த பிரபஞ்சம். கோடிகோடியாய் எங்கும் சிதறிக் கிடக்கும் விண்ணுறுப்புக்கள்  எல்லாம் ஒரே மூலத்திலிருந்து வந்தவைகளே .  பூமியின் மிகப் பெரிய பள்ளங்களில் தேங்கிக் கிடக்கும் கடல்நீர் ஆவியானதால்தான் நிலமெங்கும் துளித் துளியாய் மழை  நீர். ஒன்றுதான் காலப் போக்கில் பலவானது  என்பதைத் தான் படைத்த அனைத்து உயிரினங்களும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்பதற்காக இயற்கை படம் பிடித்துக் காட்டும் நிகழ்வுகளே இவை .ஒன்று பலவானால் பலதும் ஒன்றாகும்  விண்ணுறுப்புக்கள்  எல்லாம் ஆற்றலை  உமிழ்ந்து  அழியும்   போது   மிகை ஈர்ப்பினால்     சிதைந்து  வளிமமாய் எங்கும் பரவிவிடுகின்றன. அவையே பின்னர் ஒன்று கூடி ஒரு விண்ணுறுப்பாக மீண்டும் உருவாகின்றது.மழைத் துளிகளே ஒன்று சேர்ந்து வெள்ளமாய் மாறுகின்றது. ஆறுகள் ஒன்று கூடும் போது கடலாய் உருவெடுக்கின்றது கண்ணுக்குத் தெரியாத நுண்ணிய அணுக்கள் திரண்டதால் அழகான ஒரு பொருள் உருவானது. கோடிக்கணக்கான நீர் மூலக்கூறுகளும் கார்பன் டை ஆக்சைடு மூலக்கூறுகளும் ஒன்றிணைந்து  உருவானதுதான் பெரிய மரங்கள்.. மிகச் சிறிய உற்பத்திப் பொருளாகட்டும் அல்லது மிகப் பெரிய விண்மீனாகட்டும், இயற்கையில் எங்கும் எப்போதும் ஒரே அடிப்படையான அணுமுறைதான். ஒன்றுதான் பலவானது. ஒன்றுதான் பலதாகப் பிரிந்தது. பல ஒன்று கூடி ஒன்றானதால்தான் இப்படிப் பலதாகப் பிரிய முடிகின்றது.வேற்றுமையும் ஒற்றுமையின் ஒரு மூலமே என்பதை இயற்கை தன் படைப்புகளுக்கு உணர்த்துவது போல இது இருக்கின்றது .பல ஒன்று கூடி ஒன்றாவதும் ஒன்று பலவாவதும்  ஒரு பொதுவான நன்மைக்குதான் என்பது இயற்கையின்  ஒரு நெறிமுறையாகும். ஒற்றுமையில் ஒழிந்திருக்கும் வேற்றுமையும்  வேற்றுமையில் விலகி நிற்கும் ஒற்றுமையும்  உலகளாவிய பொது  நலனைப் பாதுகாப்பதற்காகவே. இயற்கையால் பின்பற்றப்படுகின்றது. ஆனால் மனிதர்களால் புகுத்தப்படும் வேற்றுமைகள் பொதுவாகப்   பொதுநலனுக்குப் பாதகமாக இருக்கின்றன.

பேரண்டம் உருவான தொடக்க காலத்திலிருந்தே இயற்கை  தன் அணுகுமுறையின்  அடிப்படையில் எந்த  மாற்றத்தையும் ஏற்படுத்திக் கொள்ளவில்லை. பேரண்டம் வெகு காலத்திற்குப் பிறகு என்றோவொரு நாள் அழியும் என்று கூறுகின்றார்கள். அது வரைக்கும் கூட ஏன் அதற்கும் அப்பால் கூட இயற்கையின் இந்த உறுதியான நெறிமுறையில் பிழைகள் ஏற்படுவதில்லை. எந்த மாற்றமுமின்றி எது தொடர்ந்து பின்பற்றப்படுகின்றதோ அது தான் நிலையானது. வேறுபாடின்றி எல்லோருக்கும் மகிழ்ச்சி தரக்கூடியது. இதைத்தான் இயற்கை நமக்கு அது தோன்றிய தொடக்க காலத்திலிருந்தே  தொடர்ந்து அறிவுறுத்திக் கொண்டே இருக்கின்றது.இது இயற்கையின் சீர்மையில் காணப்படும் ஒரு தனிச் சிறப்பு. இயற்கையின்  இந்த நடைமுறை இரு போக்குத் தன்மையானது. அதாவது முன்னோக்கி ஒரு விளைவையும் பின்னோக்கி அதை மீட்டுப் பெறவும் இயற்கை ஒரு வட்டச் சுற்று முறையில் செயல்படக்கூடியது. எது எந்த இழப்புமின்றி வட்டச் சுற்று முறையில் செயல்படக்கூடியதோ அதன் பயனுறு திறன் வேறு எந்த வழிமுறைகளைக் காட்டிலும் அதிகம், என்பது அறிவியலார் நெடுங்காலத்திற்குப் பிறகு  அறிந்து கொண்ட உண்மையாகும்
ஒற்றுமையே அழகு
உருவத்தால் பெரிய யானை, திமிங்கிலம் போன்ற உயிரினங்கள் எப்படி உயிர் வாழ முயலுகின்றதோ அது போலவே கொசு, ஈ போன்ற சிறிய உயிரினங்களும் தங்கள் வாழ்க்கையை நிலைப்படுத்திக் கொள்ள முயலுகின்றன. உருவங்கள் பலவானாலும் முயற்சி  ஒன்றுதான். ஒன்றின் உயிர் வாழ்க்கை அதன் உருவத்தைப் பொருந்து அமைவதில்லை என்பதைப் புரிந்து  கொள்ளத் தவறியவர்கள் தொடர்ந்து அதிகரித்துக் கொண்டே வருவதால்  சமுதாயம் பிளவுற்று வேறுபட்டுக் கொண்டே வருகின்றது. வேறுபாடுகளுக்கு சாதி மதம், மொழி மட்டுமின்றி   பலப்பல புதுக் காரணங்கள்.அதனால் சமுதாயத்தின்  இந்த அவல  நிலை பெருகிக் கொண்டே வருகின்றது.

ஒற்றுமையோடு இருப்பதுதான் ஒரு குடும்பத்திற்கு    அழகு ,ஒற்றுமையோடு வாழ்வதுதான் ஒரு சமுதாயத்திற்கு அழகு, ஒற்றுமையோடு பணியாற்றுவதுதான் ஒரு அமைப்புக்கு அழகு .ஒற்றுமையோடு இணைந்து செயல்படுவதுதான்   ஒரு நாட்டிற்கு அழகு  .ஒற்றுமை  முன்னேற்றத்தின் அடையாளம் என்பதால் எப்போதும்  உயர்வு  தரும்.எப்போதும் இணைந்து செயலாற்றுவது என்பது எல்லோர்க்கும் சமமான நற்பயனைத் தரும்.
வேற்றுமை பின்னேற்றத்தின் அறிகுறி, முன்னேற்றத்தை தடைப்படுத்தி விடும். இந்த உண்மையைப் பலர் தெரிந்திருக்கலாம் ஆனால் புரிந்து கொள்ளாததால் பெரும்பாலானோர் தடுமாற்றமடையவே செய்கின்றார்கள்.
கடவுளும் ஒற்றுமையும்
கடவுள் தத்துவம் ஒன்றுதான் ஆனால் மனிதனால்   படைக்கப்பட்ட  கடவுள்கள் தாம் பல. கடவுள் தத்துவம் என்பது ஒற்றுமை.கடவுள் என்பது அந்த ஒற்றுமையில்  காணப்படும் வேற்றுமை.
மனிதன் இயற்கையின் படைப்பு..கடவுள் தத்துவம் மனிதனால் உண்டாக்கப்பட்டதுதான் என்றாலும் அது இயற்கையின் உண்மையான பிரதிபலிப்பு. எல்லோரும் எல்லோருக்குமாக ஒன்று சேர்ந்து நியாயப்படுத்தப்பட்ட நெறிமுறை .அதனால் கடவுள்  தத்துவம்  இயற்கை போன்றது.. காலப்போக்கில் மனிதர்கள்  இயற்கையான கடவுள் தத்துவத்தை மறந்து விட்டு செயற்கையான கடவுள் உருவங்களை மட்டுமே நினைவில்   கொள்கின்றார்கள்.

ஒற்றுமை என்பது அகம், சாதி மதம் மொழி என்பன  புறம் . மனிதர்கள்   எல்லோருக்கும்  அகம்  ஒன்றுபோலத்தான் . அதில் மனித முயற்சிகளாலான வேற்றுமைகள் மேலோங்கும் போது ஒற்றுமை காணாமற் போய்விடுகின்றது..உண்மையில் புற வேற்றுமைகள் எல்லாம் ஒற்றுமையில் உட்புகுத்தப்பட்ட வேற்றுமைகளே. அந்த வேற்றுமைகள் அடிப்படையான ஒற்றுமையை பாதிக்காதவாறு பார்த்துக்கொள்ள வேண்டும். இயற்கை அதில் சிறிதும் தவறு செய்வதில்லை. ஆனால் மனிதர்கள் அப்படியிருப்பதில்லை.கடவுள் தத்துவத்தைப் புரிந்து கொள்ளாமல் கடவுளை மட்டும் இயந்திரம் போல நேசிப்பதால் இந்நிலை நிலைப்பட்டுப் போனது.
ஒற்றுமையே உயர்வு
எப்போதும் இணைந்து செயல்லாற்றுவது எல்லோருக்கும் மிகுந்த பயனைத் தரும். ஆனால் நம்மில், பெரும்பாலானோர் பிறருடன் இணைந்து செயலாற்ற மனப்பூர்வமாக விரும்புவதில்லை. தான் எப்போதும் பிறரை விட ஒரு படி மேலே இருக்க வேண்டும் என்று நினைப்பவர்களே இந்தச் சமுதாயத்தில் அதிகம். அதனால் தனக்குத் தெரிந்தை பிறருக்குச் சொல்லி முன்னேற விடுவதில்லை. அதனால் கிடைக்கும் பலனில் பெரும் பங்கைத் தானே எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் என்று நினைத்துச் செயல்படுவதால் பிறரை ஒதுக்கி விடுகின்றார்கள் அல்லது ஏமாற்றி விடுகின்றார்கள். இப்படிப்பட்ட தவறான எண்ணங்களை மனதில் குடிகொள்ள அனுமதிப்பதால் யாரும் இணைந்து செயலாற்ற முன் வருவதில்லை
ஆனால் இயற்கையில் எங்கெங்கு நோக்கினும் இணைந்து செயலாற்றும் போக்கே சாகாத சமுதாயத்திற்கு நல்லது என்ற கருத்து  நினைவூட்டப்படுகின்றது. சாதனைகளை இயற்கை எப்போதும் திறந்த வெளியில்தான் நிகழ்த்துகின்றன .எதை மறைவாகச் செய்தாலும் மறைக்க மறைக்க எதிர்ப்பு வலுக்கும் என்ற உண்மையைச் சொல்லாமல் சொல்வது இயற்கையின் பழக்கம்...
நாம்  முன்பு பள்ளியில்  படித்த  பாடங்கள் அனைத்தும் இதைத்தான் தொடர்ந்து வலியுறுத்திக் கூறுகின்றன
.பாடங்களில் ஒற்றுமை
கணிதம்
கணிதப் பாடத்தில் ஓர் எண்ணோடு மற்றோர் எண்ணைக் கூட்ட அதன் மதிப்பு எப்போதும் கூட்டப்படும் எண்களைவிடக் கூடுதலாகவே இருக்கும் . இது நமக்கு ஒரு கருத்தை வலியுறுத்திக் கூறுவதாக இருக்கின்றது. நாம் இணைந்து வேலை செய்யும் பொது ,பயனுறு திறன் மிக அதிகமாக இருக்கும். அது தனி ஒருவனால் பெறப்படும் பயனுதிறனை விட, அவருடைய செயல்திறன் எவ்வளவு அதிகமாக இருந்த போதிலும். ,எப்போதும் அதிகமாகவே இருக்கும்.  எல்லோருடைய அறிவு நுட்பமும்  ஒன்றுபட்டுச் செயல்படும்போது தெரியாமல் செயல் தடைப்பட்டுப்போவதற்கு காரணமில்லாமற் போகும்.,அதனால் பிரச்சினைகளின்றி  கடின முயற்சிகளைக் கூட எளிதாக செய்து முடிக்க முடியும். ஒருவர் ஒரு வேலையைச் செய்ய ஐந்து நாட்கள் ஆனது. அதே வேலையை ஐவர் சேர்ந்து செய்தால் எவ்வளவு நாட்கள் ஆகும் என்று ஒரு கணக்கைப் போட்டு தேர்வில் மதிப்பெண் வாங்கினோம். ஆனால் அதே கணக்கை சமுதாய வாழ்க்கையில் போட்டுப்பார்த்து பயன் பெறத் தவறிவிட்டோம்..வெறும் வாய்ப் பேச்சினால் ஒற்றுமை வந்துவிடுவதில்லை .அது உண்மையில் மனதின் மௌன மொழிகளில் அடங்கி இருக்கின்றது
.வேதியியல்
வேதியியலில் எல்லாப் பொருட்களும் மூலக்கூறுகளால் ஆனவை. எல்லா மூலக்கூறுகளும் அணுக்களால் ஆனவை. எல்லா அணுக்களும் ஒரு சில அடிப்படைத் துகள்களால் ஆனவை.  இவையாவும் ஒரு சில குறிப்பிட்ட தனிச் சிறப்புப் பண்புகளைப் பெற்றுள்ளன. இதற்குக் காரணம் அதில் ஒன்று சேர்ந்துள்ள உட் துகள்களே ஆகும்.அதில் ஒரு துகள் இல்லாமற் போகுமானாலும் தன் தனிச் சிறப்புப் பண்புகளை இழந்து அதன் பண்புகளில் முரண்பாடுகள் தோன்றும் .முரண்பாடுகளால் ஆன வளர்ச்சியைத் தவிர்ப்பதற்காக  ஓர் எலக்ட்ரான் எதிர் மின்னேற்றம்   கொண்டிருந்தாலும்   நேர் மின்னேற்றம்  கொண்ட புரோட்டானை காதலிக்கின்றது.நுண் பொருள் உலகில் காணப்படும் இக் காதலே பேரியல் பொருள் உலகமாக ப் பிறந்திருக்கின்றது. இயற்கையின் அந்தரங்கம் நமக்கு உணர்த்தும் மகத்தான மெய்ப் பொருளே இந்த ஒற்றுமைதான் .
உயிரியல்
உயிரியலில் உடம்பிலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் உயிர் வாழ்கையை நிலைப்படுத்த ஒருங்கிணைந்து செயல்படுகின்றன. ஒரு சிறிய உறுப்பு சிறிது நேரம் ஒத்துழைக்காமல் வேலை நிறுத்தம் செய்யுமானால் உடல் முழுதும் நலம் கெட்டுப் போவதுடன் மரணம் கூட நிகழலாம்
மனிதர்களைப் போல இந்த உடலுறுப்புக்கள் ஒருபோதும் வேலை நிறுத்தம் செய்து தன் ஒற்றுமையின்மையை வெளிக்காட்டுவதேயில்லை. உடம்பில் ஒற்றுமையுடன் தொடர்ந்து செயல்பட்டுக் கொண்டே வரும் உறுப்புக்களைப் பார்த்துக்கூட நாம் ஒற்றுமையின்  அவசியத்தைப்புரிந்து கொள்ளவேயில்லை.சமுதாயத்தின் பொது நலனுக்காக நாம் ஒற்றுமையுடன் செயல் படவேண்டும் என்பதைத்தான் உடம்பின் பொது நலனுக்காக ஒற்றுமையுடன் செயல்படும் உறுப்புக்கள்.ஒவ்வொரு நாளும்  வலியுறுத்திக் கூறுகின்றன.
தாவரவியல்
தாவரவியலில் ஒரு மரம் விளை பொருளைத் தருவதற்கு அது நிலத்தடியில் உள்ள வேர் மூலம் நீரை உறிஞ்சி எடுத்து, புறவெளியில் உள்ள இலைகள் மூலம் கார்பன் டை ஆக்சைடையும்  உறுஞ்சி ,சூரிய ஒளியில் உணவுப் பொருளாய் தனக்கும் பிறருக்கும் உற்பத்தி செய்கின்றது அதன் இடைவிடாப் பணியே இந்த உலகம் உயிர்ப்புடன் வாழ உறுதுணையாக இருகின்றது அதன்.அடிமரம் வீசும் காற்றால் நிலை குலைந்து சாய்ந்து போய் விடாமல் காக்கின்றது. கிளைகளையும் இலைகளையும் உயர எடுத்துச் செல்வதால் மரம் அதிக அளவு சூரிய ஆற்றலை உட்கவருகின்றது.அதனால் மரம் இன்னும் உயர உயர வளருகின்றது.ஒற்றுமையுடன் செயல்பட்டால் மனிதன் இன்னும் உயர்வாக  வாழலாம்  என்பதைத்தான் இது அறிவிக்கின்றது
இயற்பியல்
இயற்பியலில் ஒற்றுமையை முக்கியப்படுத்திக் கூறும் கருத்துக்கள் பல உள்ளன. ஒற்றைக் குச்சி யின் முறிவு நிலை மிகக் சொற்ப   இழுவிசையுடன் நடைபெறுகின்றது. ஆனால் அதுபோன்ற பல குச்சிகள்  ஒன்று   சேர்ந்திருக்கும் நிலையில் அதிக அளவு முறிவிசை தேவைப்படுகின்றது.பலவீனமான தனிக் குச்சிகள் பல ஒன்று சேர்ந்துவிட்டால் பலமான தாக்குதல் கூட ஒரு பாதிப்பை ஏற்படுத்திவிட முடியாது. பலவீனத்தை ஒரு பலமாக மாற்றிக் காட்டக் கூடிய ஒரு  மந்திரத்தை இது நித்தம் உச்சரித்தாலும் அதன் உட் பொருளை நாம் இன்னும் விளங்கிக் கொள்ளவேயில்லை.
ஒற்றை அலை ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு சிறிய ஆற்றலைத்தான் கொண்டிருக்கும்.ஆனால் பல ஒற்றை  நிற அலைகள் ஒன்று கூடும் போது அவை ஓரின அலைக்கற்றையாகி அதன் அலைவீச்சும், ஆற்றலும் பல மடங்கு அதிகரிக்கும். அதன் செயல் திறன் மிகவும் அதிகம்.  இதைதான் லேசர் என்று நம் கூறுகின்றோம். ஒரே அலைக்கட்டங்களில் உள்ள அலைகளினால் மட்டுமே இப்படிச் செய்ய முடியும். வேறுபட்ட அலைக்கட்டங்களிலுள்ள அலைகள் ஒன்றையொன்று அழித்துக் கொள்ளும் .ஒத்த சிந்தனை உடைய மனிதர்களால் மட்டுமே திடமான முன்னேற்றத்தைத் தரமுடியும், மாறுபட்ட சிந்தனைகள் ஒத்த முடிவுக்கு வராததால் முன்னேற்றம் எப்போதும் மந்தமாகவே இருக்கும். என்ற கருத்தை இது அறிவிப்பதாக இருக்கின்றது
சூழலியல்
சூழலியலில் காட்டு விலங்குகள் கூட்டம் கூட்டமாய் கூடி வாழும்போது  அவை இயல்பாகப் பாதுகாக்கப்படுகின்றன.கூட்டம் கூட்டமாய் சேர்ந்து வாழும் போது  அவை பிற விலங்கினங்களால் தாக்கப்டுவதற்கான வாய்ப்பைக்  குறைவாகப் பெறுகின்றன.. அதனால் அவை காட்டில் திறந்தவெளியில் தொடர்ந்து வாழும் நிலையைப் பெறுகின்றன.. கூட்டத்தை விட்டு அவை தனித்துப் பிரியும் போது அவை மிக எளிதாகப் பிற விலங்கினங்களுக்கு உணவாகி விடுகின்றன  பரிணாம வளர்ச்சியில் விலங்கினங்களிலிருந்து  வேறுபட்டு உயர்ந்த மனிதன் இதையேன் மறந்து போனான். இந்த ஒற்றுமையை எங்கே போய்த் தொலைத்தான்
மின்ணணுவியல்
மின்ணணுவியலில்   ஒரு டையோடு மின் சுற்றில் ஒரு சில வேலைகளைச் செய்யும். சில டையோடுகள் ஒருங்கிணைந்து மின் சுற்றில் வேலையை செய்யும் போது அதன் செயல் திறன் பட மடங்காகும். ஒருங்கிணைந்த சிலிகான் சில்லுகள் கனணியில் வியத்தகு பணிகளை விரைந்து செய்கின்றன.குழுவாக ஒன்று கூடி வேலை செய்தால் பணிப் பளு இல்லை என்பதைத்தான்  இந்த சின்னச் சின்ன  டையோடுகள் தெரிவிக்கின்றன .
மொழி
மொழிப்பாடங்களும்  இக்  கருத்தை  வலியுறுத்திக்  கூறத்  தவறவில்லை.
அர்த்தமுள்ள வார்த்தைகள் ஒரு சில எழுத்துக்களின் கோர்வையல் உருவாகின்றன. சில வார்த்தைகள் சேர்ந்தால் ஒரு செய்தி ஆகின்றது. வெறும் எழுத்துக்களினால் மட்டும் ஒருவர் ஒரு செய்தியை பிறருக்குச் சொல்லவோ அல்லது கேட்கவோ முடியாது. எழுத்துக்களின்
ஒற்றுமையே மொழியின் வளம்.

நாட்டின் உண்மையான பாதுகாப்பு என்பது அரணும்,தளவாடளங்களும் அவற்றைக் கையாளும் இராணுவமும் இல்லை,நாட்டு மக்களும் அவர்களின் மன நல்லிணக்கமும்தான்.ஒற்றுமையில்லாவிட்டால் எந்தப் பாதுகாப்பும்
முழுமையாகப் பாதுகாப்புத் தருவதில்லை

## Thursday, October 29, 2015

### creative thoughts

தவறான  பரிணாம வளர்ச்சி

குற்றவாளிகளுக்கும்  அரசியல் வாதிகளுக்கும் கூட்டு என்று சில சமூகநலவாதிகள் கூறுவதாக சில நாட்களுக்கு முன்பு தொலைக்காட்சியில் தமிழில் குறுஞ்செய்தியாக ஒளிபரப்பாகியது .இது எல்லோருக்கும் தெரிந்த உண்மை ஆனால் சான்றுகளோடு மெய்ப்பிக்க முடியாது. அப்படியே  முடிந்தாலும் அது அம்பலம் ஏறாது. சில நாட்கள் பரபரப்பாக பேசப்படும் பின்பு அது மண்ணுக்குள் புதைந்து போய்விடும். உண்மையில் குற்றவாளிகளே அரசியல்வாதிகளாக அரசியல்வாதிகளே குற்றவாளிகளாக வருகின்றார்கள். தங்களுடைய குற்றங்கள் தங்களை என்றாவது ஒருநாள் தண்டித்து விடக்கூடாது என்று அரசியல் பாதுகாப்பையும் பலத்தையும் அனுகூலமாக்கிக் கொள்கின்றார்கள். .அரசியலுக்கு வந்தவர்களும் குற்றவாளிகளாக உருமாறுகின்றார்கள். இது வழக்கமாகி வருவது மிகவும் கவலை தரக்கூடிய விஷயமாகும்.
இதை மக்களால் ஒருகாலத்திலும் நிருபித்து மாற்றம் செய்ய முடியாது. அரசியல் தலைவர்கள் நினைத்தால் ஒருவேளை முடியலாம் ஆனால் அந்த உண்மையான அரசியல் தலைவர் எ\ங்கே இருக்கின்றார்.? புதிதாகப் பிறந்து வந்தாலும் வாழும் போக்கில் திசை மாறிப் போவதுதான் இங்கே வாடிக்கை. மக்களுக்கு வளமான வாழ்க்கைக்கு   நம்பிக்கை  பெறுமாறு  நடந்து   கொள்வதுதான்   உண்மையான    அரசியல் தலைவருக்கு    அழகு . ஆனால் அதை  எல்லாம்    மறந்து  விட்டு  வசதியான  வாழ்கையை அவர்களுக்காக  அவர்களே  தவறான  வழிமுறைகளினால்  தேடிக்கொண்டே இருக்கின்றார்கள்.  தவறான  பரிணாம வளர்ச்சி மிகப் பெரிய  விபரீதங்களுக்குக் காரணமாகும்     .   .

## Tuesday, June 30, 2015

### creative thoughts

அணு உலையும் வாழ்வியலும் -4
அணு உலையில் ஓவ்வொரு கருப்பிப்பினாலும் கிடைக்கும் 2 அல்லது 3 நியூட்ரான்களில் அடுத்த கட்ட கருப்பிப்பிற்கு ரேயொரு நியூட்ரானை மட்டும் பயன்படுத் வேண்டும். குறைவாகப் பயன்படுத்தினால் அது
ற்றாக்குறைக்கு ழி வகுக்கும். ர்ச்சிக்கு அது ஒரு பெரும் தடை. அதிகமாகப் பயன்படுதினால் அது சமுதாயத்திக்கு கேடு .ற்றல் பகிர்ந்து நலம் தருவதற்கு முன்பேரித்தில் குவிந்து எல்லோருக்கும் தீங்கு விளைவிக்கின்து.. நல்லவை குறை ஒருவரும் விரும்பலாகாது. அல்லவை   சிறிதும் இடம்தரலாகாது  என்பதையே  இது எடுத்தியம்புகின்து.
அணு உலையிலிருந்து  வெளிப்படும் ற்றலை உடனுக்குடன் வெளியேற்றி சமுதாயத்தின் பயன்பாட்டிற்குக் கொடுக்க வேண்டும் .இல்லாவிட்டல்  அணு  உலை வெடிப்புக்கு ளாகி  சமுதாயத்தை ஒட்டு மொத்தமாக ழித்துவிடும் அணு குண்டுகளை விட மக்களின் தன்னலப் போக்கு ப ற்றிய எண்ணங்ளே சமுதாயத்தை ழிக்கும் வலிமையான காரமா இருக்கின்து . அணு உலை ஒரு போதும் ற்றலைச் சேமித்து வைத்துக் கொள்வதில்லை,அதுபோலத்தான் அரசும் .மக்களுக்கான த்தை தனக்காக சேமித்து வைத்துக் கொள்ளக் கூடாது. இப் போக்கிற்கு இருக்கும் ஆதாரங்ளை ழித்து விட்டாலும் பின்விளைவுள் புலப்படுத்திக் காட்டத் தவறுவதில்லை  அவர்ளுடைய வாழ்க்கை முறையில் காப்படும் திடீர் மாற்றங்ளே தை அப்பட்டமாக  எடுத்துக் காட்டுகின்ட்து. .இதனால் மக்களும் நீதி தவறி நடக்கத் தொடக்கிவிடுகின்றார்கள். மட்டிக்கொள்ளாமல் எவ்வவு பெரிய தவறுளைச் செய்தாலும் அவன் நல்லவன் என்று கொள்ப்படுவதால் இதில் எல்லோரும் ங்ளை டுபடுத்திக் கொள்ளவே விருப்பம் காட்டி வருகின்றார்கள்.